一个竞争性均方误差波束形成方法摘要：我们对待信号估计的波束的问题，其目的是从数组中观察中估计设置一个信号幅度。

常规波束形成方法通常着眼于将信干噪比（SINR）最大化。

然而，这并不能保证小均方误差（MSE），因此，平均产生的信号的估计会和真实信号相差甚远。

在这里，我们考虑的策略是，以尽量减少估计值和未知之间的信号波形的MSE。

我们建议的所有的方法都是去最大限度地提高SINR，但在同一时间里，它们都被设计为具有良好的MSE性能。

由于MSE依赖于未知的的信号功率，我们开发出了具有竞争力的波束形成方法，最小化鲁棒的MSE估计。

两种设计策略被提出：极小化最大MSE，极小化最大遗憾。

通过数值例子表明，在一个很大的SNR范围内，我们所建议的极小化最大波束形成方法可以超越现有的一些标准鲁棒的的方法。

.最后，我们应用我们的子带波束形成技术，并说明了宽带信号估计他们的优势。

关键词：极小化最大均方误差，极小化最大遗憾，稳健波束形成，子带波束形成。

Ⅰ简介波束形成是一个为了时间估计，干扰消除，源的定位，经典谱估计的处理时间传感器阵列测量的经典方法。

它已被应用于广泛的领域，无所不在，如雷达，声纳，无线通讯，语音处理和医疗成像等领域（详见，参考文献[1-4]）。

依赖波束形成器而设计数据的传统方法通常试图极小化最大信号与干扰加噪声比(SINR)。

最大化SINR需要干扰加噪声的协方差矩阵和阵列导向矢量的知识。

由于协方差通常是未知的，它往往是由测量样本的协方差所代替，当信号在训练数据中时，这就导致了在高信噪比（SNR）的情况下，性能下降。

有些波束形成技术是设计来减轻这种影响[5-8]，而另一些也需要去克服导向向量的不确定性[9-13]，[14]。

在这里，我们假定导向矢量是确切的知道的，我们的目标是为信号估计设计一个波束形成器。

尽管事实上SINR已被用来作为衡量性能的标准和在许多波束形成设计方法的准则，最大化SINR或许也无法保证的一个很好的信号估计。

在估计的环境下，我们的目标是设计一个波束形成，以获得一个信号振幅接近其真实价值的估计，使它会更有意义，选择权，并尽量减少相关的是客观的估计错误，即真实之间的信号和它的估计之间的区别，而不是SINR 的差值。

此外，它可能会更翔实考虑把估计错误作为比较不同的波束形成方法的性能尺度。

如果信号功率是已知的，那么最小均方误差（MMSE）的波束可以被设计。

由此产生的波束可以表示为依赖功率的常数，这个常数乘以一个固定的权重向量是在SINR内的最佳值。

由于信干噪比在缩放时不敏感，最小均方误差的方法也能最大化SINR。

如果比例是固定的，那么缩放选择不影响信号的波形，而只是影响它的大小。

在一些应用中，实际幅度值可能是非常重要的。

在子带波束形成的背景下[15-20]，这些就特别重要，由于它能够减少传统的宽带战略的复杂性，近些年获得很大的关注。

在这种情况下，独立执行波束形成在锐减频段和信道的输出相结合。

由于不同的尺度系数在每个通道使用，MMSE的战略一般会造成信号的波形和基于SINR为的方法所产生的不同。

因此，一个不错的选择缩放因子可以显著影响的估计波形。

通常情况下，信号功率为不明，MMSE波束就无法实现。

在这种情况下，其他的设计标准是需要选择缩放因子。

一个常用的方法是选择不会使信号失真的缩放因子，这相当于减少约束下的波束形成不偏不倚的均方误差（MSE）。

这就导致了著名的最小方差无失真响应（MVDR）波束的形成。

然而，就像我们解析和模拟的事实同时显示的那样，尽管MVDR方法是在一间不带偏见的MSE意义上是最优的技术，它往往会带来一个大的估计错误。

另一种策略就是从数据中来估计信号的功率，并使用结合的MMSE 的波束形成器。

这方法是密切相关的盲目极小化最大MSE 技术，最近在开发[21]。

以[21]中的结果为基础，它可以证明，如果估计信号功率和噪声的协方差是已知的，那么这种方法可以比MVDR 方法更加能改进MSE 。

然而，正如我们在第五节中的仿真展示那样，在典型的情况下，协方差是未知的，使用这种方法的性能就会大大恶化。

当信号功率和噪声方差是未知时，为了开发具有良好的MSE 性能的波束形成器，在本文中我们提出了两种设计战略，开发了上，下限形式的信号功率波束形成的先验知识。

这两种方法在可行信号地区内，优化了最坏的情况下的MSE 标准。

这些技术的优势在于两方面：首先，它们允许在信号的功率纳入先验知识，这在很多情况下是可用的，而且这种方式比其他方法更能改进的MSE 的性能。

第二，在没有先验知识可用的情况下，功率可以很容易地从数据中估算出，从而导致实际的波束形成技术。

的确，我们通过模拟演示得到，利用估计边界并联合所推荐的策略可以比先前的波束形成提升MSE 性能。

我们选择的标准，是在对线性模型[22-24]的估计的背景下发展起来的最近的观念为基础的。

在第一个方法中，我们尽量减少幅度（或方差的零均值随(12)机信号的情况下）范围为常数的所有信号的最坏情况的MSE 。

在第二种方法中，我们减少了在所有范围内的信号的最坏情况的遗憾[23]，[25]，[26]，其中的遗憾被定义为在不确定因素存在的情况下波束形成器输出的MSE 和当功率是确定时的最小到达MSE 之间的差别。

这个策略考虑到了信号幅度的上界约束和下界约束两个方面。

为了说明我们的方法的优点，我们提出了一些数据实例，以此来比较传统的基于SINR 的策略，依据MSE 来缩放的策略，以及目前提出的健壮的方法[10]-[12]之间的波束形成器。

我们也在子带波束形成技术中运用了我们的技术，并说明了它们估计宽带信号的优势。

这里提到的理论观点在[13]中也会提及。

然而，在这里我们特别介绍了方法的实际方面，即，和缩放SINR 技术比较时，它们的性能特点，以及，它们在波束形成子带的影响。

本文的结构如下。

在第二节中，我们制定我们的问题并复习现有的方法。

极小化最大MSE 和极小化最大遗憾波束形成器的开发在第三节。

在第IV 及V ，我们讨论的实际的考虑并给出了数据实例，包括一个子带波束形成的应用。

ⅡSINR 的和MMSE 波束形成我们分别用黑体小写字母M c 表示向量，黑体大写字母⨯N M C表示矩阵。

I 是相应维度的单位矩阵，*(.)是对应的矩阵埃尔米特共轭，∧(.)表示一个估计向量。

A,SINR 波束形成对波束形成的主要任务之一是估计从源阵列组()s t 观察信号的幅度，t N ≤≤a i e y(t)=s(t)+(t)+(t),1 (1) 这里，()M y t C ∈是在t 时刻观测数组的复合矢量，M 是传感器的数量。

()s t 是待估测的信号幅度，a 是已知的并取决于和()s t 相关的平面波到到达方向的导向向量，i (t)是干扰信号，e (t)是高斯噪声矢量，N 是快照的数量（is the number of snapshots ）我们的目的是通过利用一组波束形成权()w t ，从观测结果()y t 中估计信号的的幅度()s t ，输出的窄带波束如下：*()()(),1s t w t y t t N ∧=≤≤(2)一般来说，波束形成权()w t w =是用来使SINR 最大化*22*()s w a SINR w w Rw σ= (3) 其中，*{()()}R E i e i e =++是干扰和噪声协方差矩阵，2s σ是在确定情况下，由22|()|s s t σ=说给定的信号功率，并且当()s t 为零均值平稳随机过程时，22{()}s E s t σ=。

在实际情况下，协方差矩阵R 通常是不可用的并会被一个估计值所代替，最简单的方法就是使用一个样本协方差 *11()()N sm t R y t y t N ∧==∑ (4)由此导致了Capon 波束形成[27]。

一个可以转换的方式就是使用对角加载估计，由下面公式给出： *11()()Ndt sm t R R I y t y t I N ξξ∧∧==+=+∑ (5)当载入因素ξ发生变化是，将导致Capon 波束形成。

通常是选择210ξσ≈，2σ是但传感器中的噪声功率。

另外一个通用的方法就是特征空间波束形成，它的相反的协方差矩阵估计值是：11()()eig sm s R R P ∧∧--= (6)s P 是正交投影到信号子空间。

B ，MSE 波束形成α为任意值，都有()()SINR w SINR w α=，权重向量的SINR 最大化指定到一个常数，虽然缩放波束形成的权重将不会影响的SINR ，它可以对其他性能措施的影响，其中的波束形成器()s t 是用来估计信号波形应用，扩展成为尤为重要的子带的背景下的波束形成。

一种确定α流行的设计策略是要求*w a =1，导致MVDR 波束形成器 11MVDR R R --=w *1a a a (7)这或者可以得到波束形成的以解决方案**w min w Rw subjec to w a =1 (8)其中，下面我们显示，具有最小的MSE 受约束的波束形成是无偏的，虽然这种方法有几个最优性能的解释，它并不必然导致一个好的信号估计。

相反，我们可以尽量选择α最小化，而不需要直接输出的MSE 持平。

假设()s t s =是确定的，为简便起见，我们在那里省略了指数，MSE 和s 之间以及其估计为：222*{||}()|()||||1|E s s V s B s Rw s ∧∧∧-=+=+-*w a w (9)这里，2(){|{}|}V s E s E s ∧∧∧=-,是s ∧的方差，(){}B s E s s ∧∧=-是s ∧的偏方差。

当s 是一个零均值的随机变量，2s σ为方差，2||s 被2s σ替换。

对于具体，在讨论的其余部分，我们承担的确定性模型;但是，所有的结果在随机设置有效的地方，2||s 被2s σ替换。

21(||)R s β-+2*MVDR w(s)=|s |aa a=(s)w (10)其中最后一个等式的应用矩阵反演定理，我们定义了信号的常数： 22||()1||s s s β=+-1*-1aR a a R a (11)()s β满足0()1s β≤<，在2||s 范围内是单调增加的，所以对于所有的s ,都满足||()||||||MVDR w s w <。

把()w s 代入(9)，得到最小均方误差MSE ，我们通过MSEB OPT 表示，由下式给出： 22||1||OPT s MSE s =+*-1a R a(12) MVDR 波形发生器的MSE ，如下式给出： 1MVDR MSE =*-1a R a (13)比较(12)和(13)，我们发现，在||0s >的情况下，都有MSEB OPT <MSEB MVDR 。

所以，在具有相同的SINR 的情况下，MMSE 比 MVD 造成更小的的MSE 。