《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第六章数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．一．选择题1.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设公差为，由得到，整理得到，因，故，，所以，故选A.2.【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列是一个递增数列，满足，,，则=（）A． 4 B． 6 C． 7 D． 8【答案】B【解析】当n=1时，则=2，因为，可得=1或=2或=3，当=1时，代入得舍去；当=2时，代入得，即=2，，，又是一个递增数列，且满足当=3时，代入得不满足数列是一个递增数列，舍去.故选B.3.是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列的首项为，∵，∴,∵，∴，∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．4．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则2101...a a a ++++=（ ） A ．1023 B ．1024C ．2047D ．2048【答案】C 【解析】因为a ，4，3a 为等差数列的连续三项，所以3242a a a +=⨯⇒=，112101(12)1 (204712)a a a ⨯-++++==-，故本题选C.5．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】等比数列的前项和为，己知，，则（ ）A ．7B ．-9C ．7或-9D ．【答案】C 【解析】等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，己知S 2＝3，S 4＝15,代入数值得到q=-2或2， 当公比为2时， 解得，S 3＝7； 当公比为-2时，解得，S 3＝-9.故答案为：C.6．【浙江省宁波市2019届高三上期末】数列满足，则数列的前2018项和（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】数列满足，，可得，，…，可得数列的前2018项和，故选A．7．【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末】设为数列的前项和，，，若，则＝( )A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得：当时，两式作差得：，即又，满足是以为首项，为公比的等比数列，又本题正确选项：8．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知数列的通项，，若，则实数可以等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，此时当时，此时当时，此时当时，此时故选B.9．【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.10．【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由单调递增，可得，由，可得，所以 .时，可得.①时，可得，即.②若，②式不成立，不合题意； 若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.排除B,C,D,故选A.11．【浙江省金华十校2019届高考模拟】等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1- B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=， 则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选：B ．12．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C 【解析】 令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，，，从而,因此,选C.13．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知数列{}满足0<<<π，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜测，下面由图说明：当时，由迭代蛛网图：可得，单调递增，此时不动点为，当n时，，则有，.当时，由迭代蛛网图：可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，，综上可得，故选A.二.填空题14．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知为等差数列的前项和，满足，，则______，的最小值为______.【答案】5 -9【解析】依题意得：，解得，所以，，当n＝3时，的最小值为－9故答案为：5；-9.【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】设等差数列的前14项和，已知15．均为正整数，则公差____.【答案】-1【解析】等差数列的前14项和，∴，∴，∴，∵，∵均为正整数，，∴，逐一代入，得，，由，解得.故答案为．16．【浙江省金华十校2019届高三上期末】记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．【答案】0 1009或1008【解析】，，，，，，，，，故当取得最大值时，或，故答案为：0，1009或1008．17．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有__________个；构成等比数列的有__________个．【答案】45 17【解析】①百位、十位、个位数字依次构成等差数列：公差时，共有9个：111， (999)公差时，共有7个：123， (789)公差时，共有5个：135， (579)公差时，共有3个：147，258，369．公差时，共有1个：159．同理可得：公差时，共有8个，987，……，321，210．公差时，共有6个．公差时，共有4个．公差时，共有2个．综上共有45个．②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比时，共有9个：111， (999)公比时，共有2个：124，248．公比时，共有2个：421，842．公比时，共有1个：139．公比时，共有1个：931．公比时，共有1个：469．公比时，共有1个：964．综上共有：17个．三.解答题18.【浙江省台州市2019届高三上期末】在数列中，，，且对任意的N*，都有.（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由可得．又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.所以.（Ⅱ）因为.所以.又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.19．【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x≈4.95，∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．20．【浙江省宁波市2019届高三上期末】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,…，这样的数为正方形数.某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.（1）请写出梯形数的通项公式（不要求证明），并求数列的前项和;（2）若，数列的前项和记为，求证：.【答案】(1) ， (2)见证明【解析】（1）根据观察可归纳得：，进一步：；（2）易知，，则.21．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知数列，的各项均不为零，若是单调递增数列，且，.（Ⅰ）求及数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项的和【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为，所以.因为，则，所以是等差数列.因为，，则，所以.所以（Ⅱ）因为，所以.当时，，，所以.所以，，，，累加得当时，，即.也适合上式，故,所以22．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－（1＋2＋…＋n）＝－．故．所以数列的前n项和为23．【浙江省台州市2019届高三4月调研】设数列的前项和为，已知，．（Ｉ）求证数列为等比数列，并求通项公式；（Ⅱ）若对任意的，都有，求实数的取值范围．【答案】（Ｉ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ｉ）由，得两式相减得，即所以，即所以为等比数列，在中，令,得所以首项，所以所以（Ⅱ）由，得所以记，则当时，，即当时，，即所以当时，最大为所以当时，最小为所以.24．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】设Sn为数列{an}的前n项和，且 S2＝8，．（I）求a1，a2 并证明数列{an}为等差数列；（II）若不等式对任意正整数 n 恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（I），，见证明（II）【解析】（I），，得.，则，两式相减得，即①②②①得，即，故数列为等差数列.（II）由（I）可得，由得对任意正整数恒成立，，令，，，.25．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.时，.∴，显然也满足，∴.（Ⅱ），，，当时，，，当时，，，当时，，∴.综上，当时，；当时.26．【浙江省金华十校2019届高三上期末】数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，，得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知数列，，，且满足（27．且）（1）求证：为等差数列；（2）令，设数列的前项和为，求的最大值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1），则.所以是公差为2的等差数列.（2）.当满足.则.∴，∴，设，∴，∴，∴当时，，即，当时，，即，∴，则的最大值为28．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.【答案】（I）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得∴即：∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则，∴ 最大，即29．【浙江省2019届高考模拟卷（一)】数列首项，前项和与之间满足. （1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式；（2）设存在正数，使对任意都成立，求的最大值.【答案】，【解析】（1）因为时，∴得由题意∴又因为∴是以为首项，2为公差的等差数列.故有∴∴时，又，∴（2）设则∴在上递增，故使恒成立，只需.又，又，∴，所以，的最大值是30．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知数列的前项和为，且满足（且）Ⅰ当，时，求数列的前项和：Ⅱ若是等比数列，证明：．【答案】Ⅰ;Ⅱ证明见解析.【解析】Ⅰ当，时，，前n项和；Ⅱ可得，时，，由是等比数列，可得，且，即，，，则，则，．31．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知数列{}n a 中，14a =，n a ，1314n n n n a a a a +=-+，记22212111...n nT a a a =+++. （1）证明：2n a >；（2）证明：115116n na a +≤<； （3）证明：8454n n n T -<<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（2）见解析【解析】（1）∵3133(2)(2)1422n n n n n n n na a a a a a a a +---=-+-=-， ∴31323221212n n n n n n n a a a a a a a +---==---，令1n t a =，则2312()122n na m t t t a +-==---，∵n a >t ∈，∴'2()260m t t t =--<，∴()m t在单调递减，∴16()(10339m t m ->=-=>，即n a >时，1202n na a +->-恒成立， ∴12n a +-与2n a -同号，又1220a -=>.∴2n a >成立．（2）2124214111514816n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭221115412816⎛⎫<-+= ⎪⎝⎭， 又212111515481616n n n a a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…，∴115116n n a a +≤<. （3）先证4n n T <，因为2n a >，所以2114n a <，所以222121111...44n n n T n a a a =+++<⋅=， 再证845n n T >-，∵1314n n n n a a a a +=-+，∴()121144n n n n a a a a +-=+， 又21232141115151481616n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴11615n n a a +>，∴116()31n n n a a a +<+，又10n n a a +-<，∴2211()4()431n n n n n a a a a a ++->-， 所以221222121114...()314n n n n n T a a a a a +=+++>-+4488(416)31443145n n n >-+=->-， 故8454n n n T -<<．。