§数学归纳法1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：n＝n0 时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边， ∴当n ＝1时，等式成立．②假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边． ∴n ＝k ＋1时等式成立．由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k ＋1变到1k ＋2.因此在证明中，右式中的1k ＋1应与－12k ＋2合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2n ＋12成立． [证明] ①当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左＞右，∴不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12， 那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1[1＋12k ＋1－1]＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2k ＋1＋12，∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．∴对一切大于1的自然数n ，不等式成立．[点评] (1)本题证明n ＝k ＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式k ＋12k ＋1＞2k ＋1＋12成立．(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：• 第①步p (n 0)成立是推理的基础;• 第②步由p (k )⇒p (k ＋1)是推理的依据(即n 0成立，则n 0＋1成立，n 0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．• 另一方面，第①步中，验证n ＝n 0中的n 0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2)．[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明] 1°当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．2°假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12<2－1k＋1k＋12<2－1k＋1k k＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．证明整除问题用数学归纳法证明下列问题：(1)求证：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数；(2)证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除．[分析](2)先考察：f(k＋1)－f(k)＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，(3k＋4)7k＋1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.[证明](1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1＝8×17m＋3×17×52k＋1＝17(8m＋3×52k＋1)，∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．(2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1①f(1)＝4×7－1＝27能被9整除．②假设f(k)能被9整除(k∈N*)，∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－(3k＋1)·7k＝7k·(18k＋27)＝9×7k(2k＋3)能被9整除，∴f(k＋1)能被9整除．由①②可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除．[点评]用数学归纳法证明整除问题，当n＝k＋1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证．(2014·南京一模)已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N＋时，a n＋2＝a n＋1＋a n.求证：数列{a n}的第4m＋1项(m∈N＋)能被3整除．[证明](1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n∈N＋，数列{a n}中的第4m＋1项能被3整除．几何问题平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．[分析]用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决．[解析] ①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．②假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成( k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立．[点评]利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．[分析] 找到从n ＝k 到n ＝k ＋1增加的交点的个数是解决本题的关键．[证明] (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个．又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k .从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋(n ≥2)命题都成立．[点评] 关于几何题的证明，应分清k 到k ＋1的变化情况，建立k 的递推关系．探索延拓创新归纳—猜想—证明(2014·湖南常德4月，19)设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解析] (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a；a 4＝f (a 3)＝平面内有n (n ∈N ＋，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f (n )＝n (n －1)2.a 3＋a . 猜想 a n ＝a n －1＋a (n ∈N ＋)． (2)证明：(ⅰ)易知，n ＝1时，猜想正确．(ⅱ)假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a k －1＋a， 则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a k －1＋a a ＋a k －1＋a ＝a k －1＋a ＋1＝a[k ＋1－1]＋a. 这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝an －1＋a已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N ＋. (1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1. [解析] (1) 解: 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6，猜想数列{x 2n }是单调递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证明x 2>x 4，命题成立．②假设当n ＝k 时，命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x n >0，那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋11＋x 2k ＋11＋x 2k ＋3 ＝x 2k －x 2k ＋21＋x 2k 1＋x 2k ＋11＋x 2k ＋21＋x 2k ＋3>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综合①和②知，命题成立．(2)证明：当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立．当n ≥2时，易知0<x n －1<1.∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12. ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋x n －1(1＋x n －1)＝2＋x n －1≥52. ∴|x n ＋1－x n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋x n －11＋x n －1＝|x n －x n －1|1＋x n 1＋x n －1≤25|x n －x n －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫252|x n －1－x n －2|≤…≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1|x 2－x 1|＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1. 易错辨误警示判断2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1对大于0的自然数n 是否都成立？若成立请给出证明．[误解] 假设n ＝k 时，结论成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，那2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1都成立．[误解] 假设n ＝k 时，结论成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，那2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1都成立．• [正解] 不成立．当n ＝1时，左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边，所以不成立．[点评] 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的．特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤．本题中，虽然已经证明了：如果n ＝k 时等式成立，那么n ＝k ＋1时等式也成立．但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n ∈N ＋都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，上式左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边．而且等式对任何n 都不成立．这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了．用数学归纳法证明12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n(2n＋2)＝n4(n＋1)(n∈N＋)．[误解](1) 略．(2) 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12k－12k＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋2－12k＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－12k＋4＝k＋14[k＋1＋1]，即n＝k＋1时命题成立．[正解](1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，1 2×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＝k4(k＋1)成立．那么当n＝k＋1时，1 2×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＋1(2k＋2)(2k＋4)＝k4(k＋1)＋14(k＋1)(k＋2)＝k(k＋2)＋1 4(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)24(k＋1)(k＋2)＝k＋14(k＋2)＝k＋14[(k＋1)＋1].所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可得对一切n∈N＋等式都成立．[点评]这里没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n>n＋12(n∈N＋)．[误解] (1)当n ＝1时，左边＝1＋12＝32，右边＝1＋12＝1.显然左边>右边，即n ＝1时命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时命题成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.[正解] (1)略．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1＋12k ＋2＋… ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 ＝k ＋12＋2k 2k ＋1＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12， 即n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可得对一切n ∈N ＋不等式都成立．[点评] 从n ＝k 到n ＝k ＋1时，增加的不止一项，应为12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k 项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的．。