实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。

求x － y 的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64； 12149； 0.0004； (－25)2； 11.1.44， 0，8， 49100， 441， 196， 10－4（9）(64)2等于多少？(12149)2等于多少？（10） (2.7)2等于多少？（11）对于正数a ，(a )2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 知识点三、【开平方性质】(1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)(2)916⨯=_________，916⨯=_________； (3)94=_________，94=_________；(4)(4)=2516_________，2516=_________.知识点四、【立方根】：1、如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是根指数。

一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。

2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

其中正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一致。

例5.（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。

（2）①a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a -B 、abC 、b a +D 、a b -（3）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1（4）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且b a >，则化简b a a +-2的结果为（ ）A ．b a +2 B.b a +-2 C .b D.b a -2 （5）比较大小(填“>”或“<”).-， 76______67，215- 21，（6）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。

（7）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= 。

（8）计算：32278115.041--+ 323811613125.0⎪⎭⎫⎝⎛-+-（9）已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。

基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是（ ） A.0.12••32B.2πC.0D.7222.下列说法中正确的是（ ）A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数 3.下列语句正确的是（ ）A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数 4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数D.不能确定6.2)2(-的化简结果是（ ） A.2 B.－2 C.2或－2 D.47.9的算术平方根是（ ） A.±3 B.3 C.±3 D. 3 8.(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 9.下列式子中，正确的是（ ）A.55-=-B.－6.3=－0.6C.2)13(-=13D.36=±610.7－2的算术平方根是（ ） A.71B.7C.41 D.411.16的平方根是（ ） A.±4 B.24 C.±2 D.±2 12.一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+213.下列说法正确的是（ ）A.－2是－4的平方根B.2是(－2)2的算术平方根C.(－2)2的平方根是2D.8的平方根是4 14.16的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.±2 15.169+的值是（ ） A.7B.－1C.1D.－716.下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）17.2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对18.如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m19.若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a二、填空题1.在0.351， －32，4.969696…, 6.751755175551…, 0,－5.2333, 5.411010010001…中，无理数的个数有______.2.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.3.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)5.1214的平方根是_________； 6.(－41)2的算术平方根是_________；7.一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________；8.25的算术平方根是_________； 9.9－2的算术平方根是_________；10.4的值等于_____，4的平方根为_____； 11.(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. 三.判断题1.－0.01是0.1的平方根.( )2.－52的平方根为－5.（ ）3.0和负数没有平方根.（ ）4.因为161的平方根是±41,所以161=±41.（ ）5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）四、解答题1.已知：在数－43，－••24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；2.要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。