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B E
1ห้องสมุดไป่ตู้5
4 2 3
O
D
A
F 图6
6
C
分 析 ： 在 AC 上 截 取 AF ＝ AE 。 易 知 AEO AFO ， 1 2 。 由 B 60 ， 知 。 ， 得 ： 5 6 60 ，1 60 ，2 3 120 1 2 3 4 60
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知识归纳： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本 类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系 可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题 的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证 的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思 考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它问题最后都可化归为此 类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分 线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例 1. 已知：如图 1 所示， ABC 中， C 90 ，AC BC，AD DB，AE CF 。 求证：DE＝DF
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图 5 所示，延长 ED 到 M，使 DM＝ED，连结 FE，FM，BM A
F
E
B M
D
C
图5
BD DC BDM CDE，DM DE BDM CDE CE BM，C CBM BM / / AC A 90 ABM 90 A AB AC，BF AE AF CE BM AEF BFM FE FM DM DE FDED
说明：证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于 90°。
三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例 5. 已知：如图 6 所示在 ABC 中， B 60 ，∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。 求证：AC＝AE＋CD
BCE DAF ( SAS ) E F
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
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（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的 关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90°，或 利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例 3. 如图 3 所示，设 BP、CQ 是 ABC 的内角平分线，AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC A
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线 段。（补短法） 例 6. 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC 上， EAF 45 。 求证：EF＝BE＋DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线 或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结 CD，因为 CD 既是斜边上的中线，又是底边上的 中线。本题亦可延长 ED 到 G，使 DG＝DE，连结 BG，证 EFG 是等腰直角三角形。 例 2. 已知：如图 2 所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F E
初中几何证明技巧及经典试题
证明两线段相等 1. 两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
A F
1 2 3
E
B
证明一：连结 AD
D 图4
C
AB AC，BD DC ∠1 ∠ 2 90 ，∠DAE ∠DAB ∠BAC 90 ，BD DC BD AD ∠B ∠DAB ∠DAE 在 A D E和 B D F中，
5
AE BF，∠B ∠DAE，AD BD ADE BDF 3 1 3 2 90 FDED
FOC DOC， FC DC
证明：在 AC 上截取 AF＝AE
BAD CAD，AO AO AEO AFO SAS 4 2
又 B 60
5 6 60 1 60 2 3 120 1 2 3 4 60 FOC DOC ( AAS ) FC DC 即 AC AE CD
∠AHB ∠NHB 90 ABH NBH ( ASA)
BA BN，AH HN
BH＝BH
同理，CA＝CM，AK＝KM KH 是 AMN 的中位线 即 KH//BC KH / / MN 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把 一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例 4. 已知：如图 4 所示，AB＝AC， ∠A 90 ，AE BF，BD DC 。 求证：FD⊥ED
A D
B F 图2
C
证明：连结 AC 在 ABC 和 C D A 中，
AB CD，BC AD，AC CA ABC CDA ( SSS ) B D AB CD，AE CF BE DF 在 B C E 和 D A F中， BE DF B D BC DA
Q K B M 图3 H N
P
C
分析：由已知，BH 平分∠ABC，又 BH⊥AH，延长 AH 交 BC 于 N，则 BA＝BN，AH＝HN。同理，延长 AK 交 BC 于 M，则 CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知 KH∥BC。 证明：延长 AH 交 BC 于 N，延长 AK 交 BC 于 M ∵BH 平分∠ABC ∠ABH ∠NBH 又 BH⊥AH
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A E D
C
F 图1
B
分析： 由 ABC 是等腰直角三角形可知， 由 D 是 AB 中点， 可考虑连结 CD， 易得 CD AD ， A B 45 ， DCF 45 。从而不难发现 DCF DAE 证明：连结 CD
AC BC A B
ACB 90 ，AD DB CD BD AD，DCB B A AE CF，A DCB，AD CD A D E C D F DE DF
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证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。 5.利用一些定理（三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角 形的性质等）。 证明 角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分线的定义。 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 证明线段不等 1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 *5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 证明两角的不等 1.同一三角形中，大边对大角。 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。 3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。 *4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例。 2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。 *5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。 证明四点共圆 *1.对角互补的四边形的顶点共圆。 *2.外角等于内对角的四边形内接于圆。 *3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。 *4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。 *5.到顶点距离相等的各点共圆