定值与距离问题探究
主讲——周文春
【知识点拨】 1、 点与点距离 2、 点与直线距离
3、 讲线段与图形问题转化为距离问题
4、 熟记各种演化公式
【例1 二次函数与直线、距离、面积问题】 如图，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标；
（2）求线段的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时
12y x =-
21
64
y x =-+A B ，A B ，AB AB A B ，P AB P A B ，P 图2
图1
【变式练习.成都】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为？若存在，
求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2二次函数中的线段面积最值问题】
如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。
交Y 轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。
若没有，请说明理由
(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂
直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写
出X 的取值范围？当E 运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？ (4)在（3）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。
当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（4）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？
c bx x y ++-=
2
【变式练习.雅安】
如图，已知二次函数c x ax y ++=22)0(>a 图像的顶点M 在反比例函数x
y 3
=上，且与x 轴交于AB 两点。
（1）若二次函数的对称轴为2
1
-
=x ，试求c a ,的值； （2）在（1）的条件下求AB 的长；
（3）若二次函数的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO+MN 取最小值时，试求二次函数的解析式。
【例3 二次函数中比例的定值、最值问题】
【成都】如图，抛物线y=ax 2
+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．
（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时
11
AM BN
+的值； ②试说明无论k 取何值，
11AM BN
+的值都等于同一个常数．
在平面直角坐标系中，已知抛物线2
12
y x bx c =-
++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接,NP BQ .试探究PQ
NP BQ
+是否存在最大值？若存在，求出该最
大值；若不存在，请说明理由.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A
（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．。