广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】2514.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】24015.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.（2）根据同角三角关系，确定和，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定；再利用正弦定理确定，进而由即可求得答案.【详解】解：（1）因为，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，又，，所以，，所以．（2）由，，得，，所以，由正弦定理，得，所以△的面积为．【点睛】三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，因为平面，平面，所以平面⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，所以平面与平面所成二面角的平面角，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，，；又由，得，于是，，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，则；又由，得，于是，，在中，作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则，设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面, 所成二面角的余弦值为．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．【答案】（1）3.95万元（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出电动汽车地方财政补贴的分布列，根据加权平均数的计算方法，即可求得结果. （2）根据题设条件分别列出两种方案的分布列，估算企业在两种方案下新设备产生的日利润.【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）；若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法，正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.【详解】解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．当直线斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由△恒成立，设、，可得：，，，令8，则，，，．综上，弦长的最大值为．【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，确定函数在上单调性和最值，即可求出函数在上的值域；（2）通过构造函数，将问题转化为在区间上问题，求导函数，通过分类讨论确定实数的取值范围．【详解】解：（1）易知，在上单调递减，，时，，在上的值域为．（2）令，则，①若，则由（1）可知，，在上单调递增，，与题设矛盾，不符合要求；②若，则由（1）可知，，在上单调递减，，符合要求；③若，则，使得，且在上单调递增，在上单调递减，，，．由题：，即，，即．且由（1）可知在上单调递减，．综上，．【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解题关键.22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.【详解】解：（1）由得将代入，整理得曲线的普通方程为，设曲线上的点为，变换后的点为由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为，曲线的参数方程为(为参数).（2）设四边形的周长为，设点，，且，，，．且当时，取最大值，此时，所以，，，此时.【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；（2）根据化简函数，将恒成立，问题转化为恒成立，解绝对值不等式，令为其子集，即可求得的取值范围.【详解】（1）当时，不等式即为，①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，无解；综上，不等式的解集为．（2）当时，，即为恒成立，，即，即，在上恒成立，所以，只需，解得，所以的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理。