2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设S={x|2x+1>0},T={x|3x﹣5<0},则S∩T=()A.∅B.C.D.2.(5分)α是第四象限角,cosα=,则sinα=()A.B.C.D.3.(5分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(5分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.5.(5分)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种B.48种C.96种D.192种6.(5分)下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2) B.(﹣2,0)C.(0,﹣2)D.(2,0)7.(5分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(5分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.49.(5分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(5分)函数y=2cos2x的一个单调增区间是()A.B.C.D.11.(5分)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.12.(5分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为.14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为.16.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.三、解答题(共6小题,满分80分)17.(10分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,c=5,求b.18.(12分)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获的利润不超过650元的概率.19.(12分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.21.(12分)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.22.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P (Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)设S={x|2x+1>0},T={x|3x﹣5<0},则S∩T=()A.∅B.C.D.【分析】集合S、T是一次不等式的解集,分别求出再求交集.【解答】解:S={x|2x+1>0}={x|x>﹣},T={x|3x﹣5<0}={x|x<},则S∩T=,故选D.2.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,cosα=,则sinα=()A.B.C.D.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1,得到余弦的值,又由角在第四象限,确定符号.【解答】解:∵α是第四象限角,∴sinα=,故选B.3.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种B.48种C.96种D.192种【分析】根据题意,先分析甲,有C42种,再分析乙、丙,有C43•C43种,进而由乘法原理计算可得答案.【解答】解;根据题意,甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,有C42种,乙、丙各选修3门,有C43•C43种,则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种,故选C.6.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2) B.(﹣2,0)C.(0,﹣2)D.(2,0)【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题,解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解:将四个点的坐标分别代入不等式组,解可得,满足条件的是(0,﹣2),故选C.7.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(5分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g (x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g (x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=2cos2x的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】要进行有关三角函数性质的运算,必须把三角函数式变为y=Asin(ωx+φ)的形式,要先把函数式降幂,降幂用二倍角公式.【解答】解:函数y=2cos2x=1+cos2x,由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ,解得﹣π+kπ≤x≤kπ,k为整数,∴k=1即有它的一个单调增区是,故选D.11.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.【分析】(1)首先利用导数的几何意义,求出曲线在P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程;(2)利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公式求出面积.【解答】解:若y=x3+x,则y′|x=1=2,即曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,﹣),围成的三角形面积为,故选A.12.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为0.25.【分析】由题意知本题是一个统计问题,需要用样本的概率估计总体中位于这个范围的概率,试验发生包含的事件数时20,袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的可以数出有5,利用概率公式,得到结果.【解答】解:从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25.故答案为:0.2514.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x 对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为.【分析】先确定球心位置,再求球的半径,然后可求球的体积.【解答】解:正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的球心恰好是底面ABCD的中心,球的半径是1,体积为.故答案为:16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为三、解答题(共6小题,满分80分)17.(10分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,c=5,求b.【分析】(1)根据正弦定理将边的关系化为角的关系,然后即可求出角B的正弦值,再由△ABC为锐角三角形可得答案.(2)根据(1)中所求角B的值,和余弦定理直接可求b的值.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)根据余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7.所以,.18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获的利润不超过650元的概率.【分析】(1)3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款,根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率,再根据对立事件的公式得到结论.(2)3位顾客每人购买1件该商品,顾客的付款方式为一次性付款和分期付款,且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款,根据互斥事件的公式得到结果.【解答】解:(Ⅰ)记A表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”.P()=(1﹣0.6)3=0.064,.(Ⅱ)记B表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.B0表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.B1表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则B=B0+B1.P(B0)=0.63=0.216,P(B1)=C31×0.62×0.4=0.432.P(B)=P(B0+B1)=P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648.19.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC 的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.【分析】(1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可.(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立⇔f(x)max<c2在区间[0,3]上成立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求c的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<﹣1或c>9,因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).21.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.【分析】(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得d和q,进而可得{a n}、{b n}的通项公式.(Ⅱ)数列的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前n项和S n.【解答】解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得d=2,q=2.所以a n=1+(n﹣1)d=2n﹣1,b n=q n﹣1=2n﹣1.(Ⅱ),,①S n=,②①﹣②得S n=1+2(++…+)﹣,则===.22.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.。