三角恒等变换（讲义）
➢ 知识点睛
一、两角差的余弦公式推导
如图，在平面直角坐标系x O y 内作单位圆O ，以O x 为始边 作角αβ，，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则
(cos sin )OA αα−−→=，，(cos sin )OB ββ−−→
=，，
∴(cos sin )(cos sin )OA OB ααββ−−→−−→⋅==，
，⋅_____________．
（1） （2）
设OA −−→与OB −−→的夹角为θ，
则OA OB −−→−−→⋅=cos OA OB θ−−→−−→
⋅=_____________，
∴______________________________________． 由图1可知，2k αβθ=π++，由图2可知，_____________，
于是αβ-=____________，
∴cos()αβ-=__________________________，
∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，记作()C αβ-．
二、两角差的其他公式
利用诱导公式可得
()S αβ-：sin()=sin cos cos sin αβαβαβ--
()T αβ-：tan tan tan()=
1tan tan αβαβαβ
--+ 以β代β-，可得到()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+ ()C αβ+：________________________
()S αβ+：________________________
()T αβ+：________________________
()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+这三个公式叫做和角公式；
()C αβ-，()S αβ-，()T αβ-这三个公式叫做差角公式．
三、倍角公式
利用()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+，令βα=，
得到cos2α=_____________=____________=____________
sin 2α=_____________________
tan 2α=_____________________
四、半角公式
利用22cos 22cos 112sin ααα=-=-可得，以α代2α，
2sin 2α
=__________________
2cos 2α
=__________________ 相除，得到2tan 2α
=_________________
五、形如sin cos a x b x +的化简
sin cos sin()a x b x x ϕ++，
sin cos ϕϕ==其中
➢ 精讲精练
1. 利用和（差）角公式，求值：
（1）若()2
απ∈π，，且4sin 5α=，则=+)4πcos(α________； （2）若tan 3α=，4tan 3
β=，则tan()αβ-=_________； （3）已知3cos 5α=-，()2
απ∈π，，12sin 13β=-，β是第三 象限角，则cos()βα-=_____________．
2. 化简：
（1）sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒=___________；
（21cos 2
x x +=___________； （3）1tan151tan15-︒=+︒
________________； （4）sin 25cos15cos80sin 65sin15sin10︒-︒︒=︒+︒︒
______________．
3. 利用倍（半）角公式求值： （1）若α为第二象限角，且3sin 5
α=
，则sin 2α=________； （2）若3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，则cos 2β=____；
（3）若()42
θππ∈，，sin 2θ=sin θ=__________； （4）若12cos()sin sin()cos 13
x y x x y x +-+=，且y 是第四象限 角，则tan 2
y =____________．
4. 求值：
（1）若21tan()tan()54
αβαβ+=-=，，则tan 2α=_______；
（2）已知αβ，都是锐角，且54sin cos()135
ααβ=+=-，， 则sin β=_________；
（3）若1sin 3
x =，sin()1x y +=，则sin(2)y x +=_________．
5. 若11sin cos cos sin 23
αβαβ-=-=，，则sin()αβ+=______．
6. 若1cos()cos()5αβαβ+=-=，tan αβ=________．
7. 在△ABC 中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则△ABC 一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
8. 求证：
（1）
sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+=；
（2）
sin 2cos .tan 1cos 21cos 2
ααααα=++．
9. 若3sin )()x x x ϕϕ=-∈-ππ，
，，则=ϕ____．
10. 当函数sin 02y x x x =<π≤（）取得最大值时，x 的值为
______________．
11. 函数2cos (sin cos )y x x x =+的最大值是_________，最小正周期是
____________．
12. 函数2()5sin cos f x x x x =-x ∈R ）的单调递增区间是_________________．
13. 化简：
（1）
1sin10︒； （2）sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒
；
（3）4cos 2sin 22+-；
（4
，其中2απ0<<．
【参考答案】
➢ 知识点睛
一、两角差的余弦公式推导
cos cos sin sin αβαβ+，cos θ，cos cos cos sin sin θαβαβ=+ 2k αβθ=π+-，2k θπ±，cos θ
二、两角差的其他公式
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
++=- 三、倍角公式
2222cos sin 2cos 112sin αααα---，，
2sin cos αα，22tan 1tan αα
- 四、半角公式
1cos 2α-，1cos 2α+，1cos 1cos αα-+ ➢ 精讲精练
1. （1）10-；（2）13；（3）3365
-
2. （1）12；（2）sin()6
x π+；（3）3；（4）tan15︒ 3. （1）2425-；（2）725
；（3）34；（4）23- 4. （1）1318；（2）5665
；（3）13 5. 5972
6. 12
7. C
8. 证明略
9. 6
π 10. 56
π
11. ，π
12. 5[]1212
Z k k k ππ-+π+π∈，，
13. （1）4；（2）；（3）2；（4）cos 2α-。