第三章 三角恒等变换一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 5．（1）积化和差公式sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)]（2）和差化积公式 sin α+sin β=2cos2sin2βαβα-+sin α-sin β=2sin2cos2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos2cos2βαβα-+cos α-cos β= -2sin2sin2βαβα-+tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin22α1±sin α=(2cos2sinαα±)26。
（1）升幂公式 1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin22α1±sin α=(2cos2sin αα±)21=sin2α+ cos 2αsin α=2cos2sin2αα（2）降幂公式sin2α22cos 1α-=cos2α22cos 1α+=sin 2α+ cos 2α=1sin α·cos α=α2sin 217、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sinπ；=12cos π； ③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有：；。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2；=-α2tan 1；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；=+ααcos sin =；=+ααcos sin b a =；（其中=ϕtan ；） =+αcos 1；=-αcos 1；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如：=+)10tan 31(50sin oo ；=-ααcot tan 。
=94cos 92cos 9cos πππ；=++75cos 73cos 7cos πππ；推广：=++76cos 74cos 72cos πππ；推广：225.D （答：C ）；2．已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____（答：725）； 3．131080sin sin -的值是______（答：4）；4．已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对250(13tan10)+（答：1）；8．已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）9．已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A BA B =++，则cos()A B +＝_____（答：2-）；10．若32(,)αππ∈为_____（答：sin 2α）11．函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）12．化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()4x x x x ππ-+-+（答：1cos 22x ） 13．若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值X 围是___________.（答：[－2,2]）；14．当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______(答：32-)； 15．如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=(答：－2)； 16．求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222________(答：32) 17．若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值（答：23π）.三、规X 解题 1.. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．解：∵α－4π＋43π＋β＝α＋β＋2πα∈(43,4ππ) β∈(0,1sin 311≤-≤-x )∴α－4π∈(0,2π) β＋43π∈(43π,π) ∴sin(α－4π)＝54cos(βπ+43)＝－1312 ∴sin(α＋β)＝－cos[2π＋(α＋β)] ＝－cos[(α－4π)＋(βπ+43)]＝65562.．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-21 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-21 =sin 2β+cos 2β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-21cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-21cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α·cos2β-21cos2α·cos2β=cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫⎝⎛+αα2cos 21sin 2=22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα=22cos 1β+-21cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β=41(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-21·cos2α·cos2β=21. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)-21·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)-21·［2cos 2(α+β)-1］=21. 3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=； (1) 求)625(πf 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sin α的值．解：（1）∵23625cos21625sin ==π ∴0625cos 625sin 625cos 3)625(2=+-=ππππf （2）x x x f 2sin 21232cos 23)(+-= ∴234123sin 21cos 23)2(-=-+=ααa f 16sin22－4sin α－11＝0 解得8531sin ±=α ∵0sin ),0(2>∴∈απ 故8531sin +-=α 4．已知sin 22α＋sin 2α cos α－cos2α＝1，α∈(0，2π)，求sin α、tan α的值． 解：由已知得 sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0即(sin2α＋2cos α) (sin2α－cos α)＝0 cos 2α(1＋sin α) (2sin α－1)＝0 ∵α∈(0，2π) cos α≠0 sin α≠－1∴2sin α＝1 sin α＝21 ∴tan α＝335.设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==，0,αβπ<<<且若45a b →→•=，4tan 3β=，求tan α的值。