由GM 2 L2
M
2
T
2
L 2
T 2 L3
2GM
G
M2 L2
G
M
4 3
L 2
L 2
M3
M
F星 2FT暗 N
2
LL 2
M
2
N
1
3M
2 L3
【例题】 2016年2月11日美国国家科学基金会宣布：美国的“ 激光干涉引力波天文台”的两台孪生引力波探测器首次直接探 测到了引力波．该引力波是由13亿光年之外的两颗黑洞在合并 的最后阶段产生的．初始质量分别为29倍太阳质量和36倍太阳 质量的两颗黑洞，合并成了一颗62倍太阳质量、高速旋转的黑 洞；亏损的质量以引力波的形式释放到宇宙空间．这亏损的质 量为______kg． 相当于______J的能量． (已知太阳质量约为2.0 1030 kg ，光在真空中的速为3.0108 m．
Ch地球公转轨道X平面 Ch 地球公转轨道平面
对北半球而言,在冬季过近日点,夏季过远日点
【例题】要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东 经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范 围内的上空？地球半径R = 6.37×106m．地球表面处的重力加速度 g = 9. 80m/s2．
同步轨道的计算 T0 2
R 2
g
R3 R02 g0
R
3
T02 R02 g
4 2
24 36002 642 1010 10
3
4 2
4.2104 பைடு நூலகம்m
同步轨道半径设为R同步,其覆盖经度范围的几何关系如图: 读题
R
156o
R同步
54o
cos1 R cos1 6.37 81o
R同步
地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分 天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！
一个常用的推导—天体的密度
GM m R2
m
2
T
2
R
G 4
3
R3
4 2
R
R2
T2
3
GT 2
【例题】侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行 轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处 在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时， 卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球 半径为R，地面重力加速度为g，地球自转的周期为T.
GMm．可
R0
供航天员居住与进行科学实验的空间航天站离地面高度为h，若在
该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步
轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有
多大的动能？
同步轨道半径设为R0：由
GM R02
2 R0
3
得 R0
GM
2
卫星在同步轨道的引力势能为
动能：
由 GMm R02
⑴由
GMm r2
mr
2
T
2
知 T2 T02
R h2 R h1
3
⑵移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地
球自转了θ角，有
2 T
T0 2
3
R R
h2 h1
卫星下方地面处于东经
3
故T
R h2 R h1
T0
1
R R
h2 h1
3
180o
180
0
【例题】如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公
42.0
恰能覆盖东经75°的卫星定位:
75o 81o 156o
恰能覆盖东经135°的卫星定位:
135o 81o 54o
【例题】 地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒
量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物
体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为
E
p同
天体运动和万有引力
竞赛训练板块4
支配天体运动的基本规律
开普勒三定律
万有引力定律
牛顿运动定律
机械能守恒
人造卫星可能轨道
极地轨道
其它轨道
赤道平面轨道
天体运动规律一览表
中心天体半径R0 轨道半径R
与轨道半径关系
加速度
a0
g0
GM R02
速度
v0
R0 g0
GM R0
a
g
GM R2
v Rg GM R
周期
T 2
R0 2 g0
R03 T 2 GM
R 2 g
R3 GM
角速度
g0 R0
GM R03
g R
GM R3
a 1 R2
v 1 R
T R3
1
R3
自转与公转
GMm
F引 F向
R02
m
2
T
2
R0
G
GMm R02
m
2
T
2
R0
ω m F向
F引 F引 F向 m
F向
m
2
T
2
R0
cos
【例题】一固体星球可近似看作半径为（足够大）的球形均匀 的固体，构成星球的物质的密度为 ，引力常量为 G ．
（1）考虑星球表面山体的高度．如果山高超出某一限度，山基 便发生流动（可认为是山基部分物质熔化的结果，相当于超出 山的最高限的那块固体物质从山顶移走了），从而使山的高度 减低．山在这种情况下其高度的小幅减低可视为一小块质量的 物质从山顶移至山底．假设该小块的物质重力势能的减小与其 全部熔化所需要的能量相当，山体由同一种物质构成该物质的 熔化热为L，不考虑温度升到熔点所需要能量，也不考虑压强对 固体熔化热的影响．试估计由同一种物质构成的山体高度的上 限． （2）若由同一种物质构成的山高的上限不大于R/10 ，试估计 在此条件下由同一种物质构成的星球半径的下限．
转轨道，Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏
至、冬至时地球所在的位置．试说明，一年之内秋冬两季比春夏两
季要少几天的原因．
Q t3
Q
行星
由面积定律:
D
1
1
2 va t a 2 vb t b
b DB
日
t4 日太阳
t2 Aa
t1
X
va a vb b
Q a b va vb
m
v2 R0
E p同
GMm R0
Ek同
GMm 2 R0
卫星在空间站的引力势能为
E p空
GMm Rh
由机械能守恒： Ek 空
GMm Rh
GMm 2R0
GMm R0
Ek空
GMm
1 R
h
3
2
8GM
【例题】 根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每 个星体的质量都是M,两者间相距L，它们正围绕两者连线的中点做 圆周运动． ⑴试计算该双星系统的运动周期； ⑵若实验上观测到运动周期为，且 T:T 1: N ,为了解释两者 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质 ．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的 球体内均匀分布这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根 据这一模型和上述观察结果确定该星系间这种暗物质的密度．
极地卫星周期为
Th 2
R h3
R2 g
每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为
n
T Th
每次应拍摄
l 2 R 4 2 R h3
nT
g
【例题】电视转播用的“地球同步卫星”的轨道高度为h，转动周 期为T0；卫星定位系统用的某“移动卫星”沿通过地球的南北两极 的圆形轨道运行，离地面高度为H，地球半径为R0 ．⑴该移动卫星 连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？⑵该移动卫星某 时刻恰位于经度为0度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时 ，下方地面的经度是多少？