8
可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p y
dx
则
y
d2 y dx 2
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1 ). 分离变量并积分,
两端同乘不为零的因子 1 y2
yy y2
y2
d( dx
y ) 0
y
y y C1
故 y C1 y
可分离变量方程
从而通解为 y C2eC1x
13
可降阶的高阶微分方程
例 目标的跟踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点 A(1,0)
处的乙舰发射制导导弹, 导弹头始终对准乙舰. 如果 乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线 行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程. 又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中? 解 设导弹的轨迹曲线为 y
y y( x),并设经过时间 t , 导弹位于点P (x, y), 乙舰
位于点 Q(1, v0t) (如图). 由于导弹头始终对准乙舰,
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
O
A(1,0) x
故 的此切时线,直即线有PQy就 是v0导t 弹y的, 轨迹曲线弧OP在点P处
1 x
14
可降阶的高阶微分方程
(5) + (6),得
y
1 2
(1
1
x) 5
(1
1
x)5
.
17
可降阶的高阶微分方程 又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中?
y
1 2
(1
1
x) 5
(1
1
x)5
.
y
得
y
5 (1
4
x)5
5
(1
6
x)5
C.
8
12
根据初始条件 y(0) 0, 得 C
5
O
.
24
y y(x)
P( x, y)•
解 设 y p( y),则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p dp dy
p2
0,
即
p(
y
dp dy
p)
0
由 y dp p 0，可得 dy
p
C1
y, dy dx
C1 y
原方程通解为 y C2eC1x
12
可降阶的高阶微分方程
注 有些高阶方程也可用类似于“凑全微分 ” 的方法求解.
或解 求方程 yy y2 0 的通解
得通解为
dy
( y,C1) x C2
9
可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例4 求方程 y 1 y2 的通解. 2y
解 设 y p( y),则 y p dp ,代入原方程
p dp 1 p2
dy
可分离变量方程
dy 2 y
2 pdp 1 p2
dy y
ln(1
p2 ) ln
由(1)式与(2)消去 v0t 就得
(1 x) y y 1 x 1 y2 dx. (3) 积分方程 50
15
可降阶的高阶微分方程
(1 x) y y 1 x 1 y2 dx. (3)
50
y
将(3)式两端对x求导并整理,得
积分方程
(1 x) y 初值条件:
1 1 5 y(0)
dy 4(1 x3 )dx y x4 4x C2
再由初始条件
y x0
1,
知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
可降阶的高阶微分方程
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
cos
x
C1 x
C2
y
1 27
e3 x
sin x
C1 x2
C2 x
C3
最后得到的就是方程的通解.
3
可降阶的高阶微分方程
二、 y f ( x, y) 型的方程
特点 方程缺y.
解法
设
y
p ( x),y
dp
dx
p.
将p作为新的
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
作业
习题5.4(275页） (A)1.(3) 2.(4) 4. (B) 2.
20
可降阶的高阶微分方程
微分方程 yy y2 0 满足条件 y x0 1,y x01 2的特解是
y
x 1 或 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
y2 0,
. (4) y(0) 0.
O
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
A(1,0) x
属y f ( x, y)型的二阶微分方程的初值问题.
令 y p, 方程(4)转化为
(1 x) p 1 1 p2 , 5
分离变量 dp dx . 1 p2 5(1 x)
可分离变量方程
如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴
的直线行驶,导弹的速度是5v0,
y v0t y ,
y
1 x
即 v0t (1 x) y y. (1)
弧OP的长度为| AQ |的5倍,
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
即
x 0
1 y2 dx 5v0t. (2)
O
A(1,0) x
y lnC1
1 p2 C1 y p C1 y 1
即 dy dx
C1 y 1
可分离变量方程
10
可降阶的高阶微分方程
dy dx
C1 y 1
dy dx C1 y 1
2 C1
C1 y 1 x C2
11
可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例5 求方程 yy y2 0 的通解.
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
7
可降阶的高阶微分方程
例3 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解 令 y(4) p x, 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x, 所以原方程的通解为
积分4次
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
可降阶的高阶微分方程
例2
解方程
y
3x 1
2 y x3
y x0 1, y x0 4
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令y p x,y p, 代入原方程, 得
第四节 可降阶的高阶微分方程
y(n) f ( x) 型的方程 y f ( x, y) 型的方程 y f ( y, y) 型的方程 小结 思考题 作业
1
第十二章 微分方程
可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) f ( x) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
可降阶的高阶微分方程
例1 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x
sin
x
C1
y
1 9
e3x
16
可降阶的高阶微分方程
dp dx . 1 p2 5(1 x)
两边积分 ln( p 1 p2 ) 1 ln(1 x) ln C ,
5
1
ln C(1 x) 5 ,
即
p
1
p2
C(1
1
x) 5,
根据初始条件 p(0) 0, 得C 1.
得
y
1
y2
(1
1
x) 5.
(5)
1
将(5)式有理化,得 y 1 y2 (1 x)5 . (6)
可分离变量方程
y2 2
x 2
C2
由y x0
1
C2
1 2
y2
x1
21
p
3x 1
2p x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
dx
ln p ln(1 x3 ) lnC1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程
5
可降阶的高阶微分方程
y
3 1
x
2 y x3
y x0 1, y x0 4
• Q(1,v0t
A(1,0) x
于是有
y
5 (1