dx dy dx dy 原方程化为： p dp = p3 + p
dy dp = p2 + 1 或 p = 0 dy
dp = p2 + 1
dy
dp p2 + 1 = dy arctan p = y + C1
dy dx
=
p
=
tan( y + )dy
=
dx
ln sin( y + C1 ) = x + ln C2 sin( y + C1 ) = C2e x
= e x[− xe− x − e− x + C1 ] = − x − 1 + C1e x
y = p = − x − 1 + C1e x
y
=
−
1 2
x2
−
x
+ C1e x
+ C2
第七章 第五节
3
2
求解方程
y =
2 xy x2 +1
解
令
p=
y
方程降阶为
p =
2 xp x2 +1
可分离变量微分方程
dp = p
2x x2 + 1 dx
ln p = ln( x2 + 1) + ln C1
y = p = C1( x2 + 1)
y
=
1 C1( 3
x3
+
x) +
C2
第七章 第五节
4
3 求解方程 y3 y = 1
解 令p( y) = y
则
y =
dp = dp dy dx dy dx
=
dp p
dy
原方程化为： y3 p dp = 1 可分离变量 dy
第七章 第五节
2
1 求解方程 y = y + x
y = e − [ P ( x )dx Q( x )e P ( x )dxdx + C ]
解 令 p = y 方程降阶为 p = p + x
一阶非齐次线性方程
分部积分
p = e− (−1)dx[ xe(−1)dxdx + C ] = e x[ xe− xdx + C ]
7.5 可降阶的高阶微分方程习题解答
1 y(n) = f (x) 型，解题思路：连续积分 n 次 2 y" = f (x , y') 型, 特点：不显含因变量 y 解题思路：作因变量换元，令 p = y' 方程降阶为： p' = f (x , p) 3 y" = f (y , y') 型 , 特点：不显含自变量 x
第七章 第五节
6
pdp =
dy y3
p2 = − y−2 + C1
dy = p = C1 y2 − 1
dx
y
ydy = dx
C1 y2 − 1
1 (2
2C1
C1 y2 − 1) = x + C2
第七章 第五节
5
4 求解方程 y = ( y)3 + y
解 令p( y) = y 则 y = dp = dp dy = p dp
解题思路：作自变量换元及因变量换元，令
p( y) = dy
要注意
y =
d
dy ()
=
dp
dy
=
dp p
dx
方程降阶为：
p
dp dy
=
dx dx f ( y ，p)
dy dx
dy
第七章 第五节
1
1 求解方程 y = y + x
2
求解方程
y
=
2 xy x2 +1
3 求解方程 y3 y = 1
4 求解方程 y = ( y)3 + y