2011年数学建模集训小题目
1.求下列积分的数值解
⎰
+∞
+-⋅23
2
2
3x x x dx
2.已知)sin()()cos(),(2h t h t h t e
h t f h
t ++++=+，dt h t f h g ⎰=10
),()(，画出
]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。
3.画出16)5(2
2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。
4.画出下列曲面的图形
（1）旋转单叶双曲面
14
92
22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =；
5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。
6.（1）求函数x
x y -+=12
ln 的三阶导数；
法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy =
(6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2
（2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。
7.求解非线性方程组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+060622x y y x
（2）⎩⎨⎧=+=++5
ln 10tan 10cos sin y x y e y x
8.求函数186)(2
3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。
9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。
已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。
10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：
项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
项目C ，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3万元；
项目D ，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6％。
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？
11.已知某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品，各种产品需要在A ，B ，C 三种设备上加工生产，具体相关数据如表1。
试研究下列问题。
（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？ （2）如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B ，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B 是否合算？
（3）如果该工厂拟增加生产两种新产品Ⅳ和Ⅴ，其中产品Ⅳ需用A 设备12台时，B 设备5台时，C 设备10台时，单位产品盈利21000元；产品Ⅴ需用A 设备4台时，B 设备4台时，C 设备12台时，单位产品盈利1870元。
假如A ，B ，C 三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？
12.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A 和B ，目的是方便市民的生活，提高城市的生活质量。
根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h （即每个劳动力用1h ）,分别可以建成1个项目A 和两个项目B 。
如果投入1个劳动力·h 需要支付10元，市政府为了用有限的资金和劳动力，并用最快的时间建成这批项目，服务于社会，服务于人民。
市政府依次提出下面的四条要求。
（1）至少要建50个项目A ； （2）至多建设60个项目B ；
（3）至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h ； （4）总投入资金不超过预算120万元。
试为该市政府制定一个满意的项目建设方案。
13.求微分方程组初值问题
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-=00)0(,)0(y y x x bxy
sy dt
dy
axy rx dt dx
式中，2=r ，1=s ，1=a ，2=b 。
选用ode45函数计算，其相对误差限为510-，绝对误差限为6
10-，分别画出初值条件为]3.0,1[],[00=y x ，]5.0,1[，]7.0,1[，]9.0,1[，]1.1,1[解的相平面轨迹图。
14．求两个圆1002
2
=+y x ，100)4()3(2
2
=-+-y x 所围公共部分的面积。
15.已知平面区域56000≤≤x ，48000≤≤y 的高程数据见表3（单位：m ）。
试用二维插值求y x ,方向间隔都为10的高程，画出该区域的等高线和三维视图，并求该区域的表面积。
16. 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=365624541A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x x ，求二次型Ax x x x x f T
=),,(321在单位球面
12
32221=++x x x 上的最小值。
17. 求解线性规划问题
5432113070809020 m ax x x x x x Z ++++=
s.t. ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤+≥+≥++5
,,1 ,048
231202330305
423143521 i x x x x x x x x x x x i
18．求解数学规划问题
∑=1000
1
max
i i
x
s.t.⎩⎨
⎧≥≤⨯0
11
500x Ax
其中1000500)(⨯=ij a A ，这里ij a 是服从均值为5，标准差为2的正态分布的随机数；15001⨯表示500个元素全部为1的列向量。
19. 根据表4某猪场24头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积（x 1）、腿肉量(x 2)、腰肉量(x 3)的多元回归分析。
要求
（1）求y 关于321,,x x x 的线性回归方程
3322110x c x c x c c y +++=，
计算3210,,,c c c c 的估计值；
（2）对上述回归模型和回归系数进行检验（要写出相关的统计量）；
（3）试建立y 关于321,,x x x 的二项式回归模型，并根据适当统计量指标选择一个较好的模型。
（4）利用表4的数据分别利用Matlab 的命令lsqcurvefit 和nlinfit 拟合非线性函数
)tan(cos sin 24321113x a x e a x a y x a ++=。