实验三 常微分方程的差分方法实验
一. 实验目的
（1）深入理解常微分方程的差分方法的原理，学会用差分方法解决某些实际的常微分方程问题，比较这些方法解题的不同之处。

（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的常微分方程。

二. 实验要求
用Matlab 软件实现欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法和亚当姆斯方法，并用实例在计算机上计算。

三. 实验内容
1. 实验题目
（1）取h =0.1，用欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法求解初值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧=-+='0
)0(21122y y x y 40≤≤x 并与精确解2
1x x y +=比较计算结果 A.欧拉方法：
a ．编写文件Euler.m,内容如下所示：
b.B
b.编写文件
f3.m:
c.编写文件
solvef3(x):
d.运行如下所示：
可见精度是比较粗糙的，具有两位有效数字；
B．改进的欧拉方法
a．编写文件MendEuler.m,内容如下所示：
c．运行如下：
可见部分值具有3为有效数字了
C．四阶龙格-库塔方法
a．编写文件Rungkuta4.m,内容如下所示：
b．运行如下所示：
（2）分别用二阶亚当姆斯预估校正系统、改进的四阶亚当姆斯预估校正系统求解初
值问题0)0(1=-='y y y ，，取181.0)2.0(2.0==y h ，，计算)0.1(y 。

a.编写文件Adams2PC.m,即为二阶亚当姆斯预估校正系统的程序：
b.编写改进的四阶亚当姆斯预估校正系统的程序，如下所示：
C ．编写文件f5.m,即为微分方程的程序；编写文件solvef5.m ，为解函数的程序，用以比较结果：
d．运行
从上面的输出可以看到CA4(:,2)和CA4的输出时不同的，前面一个值输入矩阵的第二列；
2. 设计思想
要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。

首先差分方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y（x）的分析问题转化为计算离散值y的代数问题，使问题得到实质性的简化；差分方法在解初值问题时采取步进式，进一步将计算模型化归为仅含一个变元的代数方程——差分格式
A．欧拉方法：确定步长，施行离散化手续，用差商代替倒数；
B．改进的欧拉方法：在欧拉方法的基础上，改变倒数项，通过首尾两点的倒数的一半来作为平均倒数，从而改善精度；
C．龙格-库塔方法：在每一步上多预报几个点的斜率，然后将它们加权平均作为平均斜率K*，即该平均斜率将比上面两种方法更加精确，则有可能构造出更高精
度的计算格式；
D．二阶亚当姆斯预估校正系统：充分利用先前计算出来的老信息来为新信息服务，期望来达到减少计算量的目的；预报过程采用松弛手续，来校正产生的值，使
值的精度更高；
E．改进的四阶亚当姆斯预估校正系统：在二阶的基础上，更近一步地改善精度，更加充分地利用来信息，又不失二阶时的预报校正的优点。

四.实验体会
对实验过程进行分析总结，对比求解常微分方程的不同方法，指出每种算法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对常微分方程的差分方法的理解。

在实验的过程也是一次对书本进行复习的过程，通过实验可以更加地理解和学会利用已知的结论来求解初值问题。

算法的计算是建立在使用价值上的，如上面的设计思想中可以看出，每一种算法的建立都是在满足一定的实用价值上的，既要有一定的精度，也要控制在一定的计算范围之内。

利用松弛手续来提高精度，这种设计是优秀的。

编写程序时，以前并不是很注意结尾要不要分号，但这个细节有时必须要注意，正如在运行窗口下时，要想得出计算结果是不能带分号的，假如你带了分号就会自动换行，
提示继续输入，如，而当去了分号后就可以运行了；当然这个道理前面几个实验已经知道；这次实验的情况是微分方程是另外存在一个函数文件中的，那么这个文件的结尾到底要不要分号呢？从习惯上还是提倡写上分号，假如在这次中忘了写的话，在其它“.m”文件中引用该函数时，虽然只是中间结果，但每用一次就好输出一次，使输出内容与预知的多了些；
还有一点是，像上面的内容假如直接复制，粘贴再运行会出错，因为把“>>”也复制上了，粘贴的“>>”和换行时自动出现的符号在意义上是不同的，故会出错，不过在最新版本的matlab上就没有这个问题，在粘贴时自动把多出的符号删去。

实验中二阶亚当姆斯预估校正系统题目中给了两个初值，从而使得程序更加地简单，不必利用其它的方法来求得初值再启动运行。