曲线运动典型问题
典型问题一 连带运动问题
指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。

由于研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

1、如图所示，在水平地面上以速度v 1做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，当斜线与水平方向的夹角为α时，物体的速度v 2是多大？物体做什么运动？
2．用跨过定滑轮的绳把湖中小船拉靠岸，如图所示，已知拉绳的速度v 保持不变，则船速（ ）
A ．保持不变
B ．逐渐增大
C ．逐渐减小
D ．先增大后减小
如果使船匀速运动则应如何拉绳？
（提示：在分析船的运动时，我们发现船的运动产生了两个运动效果：绳子在不断缩短；而且绳子与河岸的夹角不断减小，所以我们可以将船的运动——实际运动——合运动分解成沿绳子方向的运动和垂直绳子方向所做的圆周运动） 1．船沿水平方向前进——此方向为合运动，求合速度v ．
2．小船的运动可以看成为沿绳子缩短方向的运动和垂直绳子方向做圆周运动的合运动．
例如：在高处拉低处小船时，通常在河岸上通过滑轮用钢绳拴船，若拉绳的速度为4m ／s ，当拴船的绳与水平方向成60°时，船的速度是多少？
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。

2．思路与方法
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→⎩⎪⎨
⎪⎧
其一：沿绳 或杆 的分速度v 1
其二：与绳 或杆 垂直的分速度v 2
方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则。

3．常见模型
把物体的实际速度分解为沿绳(杆)和垂直于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

常见的模型如图所示。

练习题：物体A 以速度v 沿杆匀速下滑，A 用细绳通过定滑轮拉物体B ，则当绳
子与水平方向夹角为θ时，物体B 的速度大小为多少？
典型问题二 小船过河问题
（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间
θ
υυsin 1
船d
d
t =
=
，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡
河时间最小为船
v d
t =
，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 (1)若水船υυ>
结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=
cos 渡河时间：22水
船v v d
t -= 最小位移为河宽d
(2)若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的
距离最短呢？
设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂
下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水
船v v =
θcos
船头与河岸的夹角应为水
船
v v arccos =θ，
v
此时渡河的最短位移：船水v dv d
l ==
θcos 时间：2
2船
水船水v v v dv t -= 船沿河漂下的最短距离为：θ
θsin )cos (min 船船水v d
v v x ⋅-=
练习题
1 河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ， (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
2 在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) A ．21
222
υ
υυ-d B ．0 C ．
2
1
υυd D ．
1
2
υυd
3某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A)
2
1222T T T - (B)
1
2
T T (C) 2
2211T T T - (D)
2
1
T T
1 120
2解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间t=
2
v d ；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离2
1
1v dv t v s ==。

答案：C
3解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ： 1
1v d T =
① 当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则
22
21
2v
v d T -=
②
联立①②式可得：1
2
22121v v v T T -= ，进一步得 21
222
21T T T v v -=
【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，
d
v k kx v 0
4=
=，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ A ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸
2
d
处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线
D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v
如图所示，物体A 以速度v 沿杆匀速下滑，A 用细绳通过定滑轮拉物体B ，则当绳子与水平方向夹角为θ时，物体B 的速度大小为多少？。