2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．
考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。

下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。

例1：求极限30tan sin lim
x x x
x
→- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．
若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，
lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ
''''-⋅-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim 1αβ
=时,命题是假命题． 对于例1，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin lim lim 1tan x x x x
αβ→→== 所以，证明的结论是错误的．
正确解答:
2
333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2
x x x x x x x x x x x x →→→--==.
例2：求201sin(sin )lim x x x x
→ 错误解答: 2200011sin(sin )sin 1lim lim lim sin 0x x x x x x x x x x x
→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：
()2211sin sin sin ,0x x x x x
⎛⎫ → ⎪⎝⎭
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而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x
均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．
正确解答：当0x ≠时， 22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x
≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．
例3：求极限sin lim
x x x
π→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1． 应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==. 注意：
①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．
②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3． 巩固相应知识点
① 无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.
(1)若()lim 0()
x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim
,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()
x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim
1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim (0),0,())()
k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 ② 常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)
当0x →时,
精选文库 sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭ ()2
1
1cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数。