三角函数公式整合：两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA•CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanαtan （π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N ∃（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x nA x n n =∞→lim 或 A x n → )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(A x f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

0x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

（3） 左右极限左极限：0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =-→)(lim 0或 A x f x f =-=-)0()(00右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =+→)(lim 0或 A x f x f =+=+)0()(00极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→== （4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内0A >(0)A < ⇒ ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ⇒ 0A ≥(0)A ≤有界性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。

例如当x →∞时，x x sin 是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；A x f x x =→)(lim 0成立的充要条件是α+=A x f )(（00(,)x x x δδ∈-+，0lim =α）（3）无穷小的比较（设 0lim =α，0lim =β）： 若lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o α；特别α称为()o αβαα+=+的主部若limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小； 若lim C βα=，则称β与α是同阶无穷小；若lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记为~βα；若lim k C βα=，（0,0>≠k C ）则称β为α的k 阶无穷小；（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim uv=∞，则称u 是比v 高阶的无穷大，记为1()o v ；特别u 称为1()u v o v v +=+的主部3. 等价无穷小的替换若同一极限过程的无穷小量αα'~，ββ'~，且limαβ''存在，则 ()()limlim()()f x f xg x g x ααββ'=' (lim 0)α=常用等价无穷小sin tan arcsin arctan ~ln(1)111e ααααααααα⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪+--⎩⎭⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩2111cos ~2111~21(1)1~1~ln nn a a αααααααα-+-+-- 注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若lim ()(0)f f α=，αα'~，则()~()f f αα'4. 极限运算法则（设 A x f =)(lim ，B x g =)(lim ） （1） []=±)()(lim x g x f ±)(lim x f B A x g ±=)(lim （2） []=⋅)()(lim x g x f ⋅)(lim x f B A x g ⋅=)(lim特别地，[])(lim )(lim x f C x Cf =，[]=nx f )(lim []n nA x f =)(lim（3） =)()(limx g x f BAx g x f =)(lim )(lim (0≠B ) 5.准则与公式（lim 0α=，lim 0β=） 准则1：（夹逼定理）若)()()(x x f x ψϕ≤≤，则A x x ==)(lim )(lim ψϕ ⇒ A x f =)(lim准则2：（单调有界数列必有极限）若{}n x 单调，且n x M ≤（0M >），则lim n n x →∞存在（{}n x 收敛）准则3：（主部原则）()limlim ()o o αααβββ+=+； 1111121212()()lim lim ()()o o o o ∞+∞∞=∞+∞∞公式1： 0sin lim1x x x →= ⇒ s i n l i m 1αα= 公式2： 10lim(1)1lim(1)x x n n x e n →→∞⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭ ⇒1l i m (1)1l i m (1)e αα∞⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+∞⎪⎪⎩⎭公式3： lim lim(1)e αα∞⋅∞+=，一般地，lim lim(1)f f e αα⋅+=公式4：1101100lim lim n n n n n n nm m m x x m m m mn m a x a x a a x a n m b x b x b b x b n m---→∞→∞-⎧<⎪+++⎪===⎨+++⎪⎪∞>⎩ 6. 几个常用极限(0,1)a a >≠（1）1lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n n ； （2）1lim 0=+→x x x ，lim xx x →+∞=+∞； （3）10lim x x e +→=+∞，1lim 0x x e -→=； （4）0lim ln x x +→=-∞； （5）001lim arctan 21lim arctan 2x x x x ππ+-→→⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （6）011lim 111nn q q q q q →∞⎧<⎪∞>⎪=⎨=⎪⎪=-⎩不存在。