1 0 2 −1 求得： [ M ] m = = 0 1 , [ K ] k −1 1
x x 系统运动微分方程可写为： [ M ] 1 + [ K ] 1 = 0 ………… (a) x2 x2 设系统固有振动的解为：
系统的动能和势能分别为 1 1 12 + mx 22 = ET mx 2 2 1 2 1 U = kx1 + k(x1 − x2 )2 + mg(x1 + x2 ) 2 2
解得： ω1,2 2 = 所以： ω1 =
(3 ± 5) k 2 m (3 − 5) k (3 + 5) k < ω2 = 2 m 2 m ………… (c)
得到频率方程： (ω 2 ) =
2 4 即： (ω 2 )= 3m2 ω − 14k2 m2ω 2 + 7 k2 2= 0
解得： ω1,2
所以： ω1 =
将（c）代入（b）可得： (7 ± 2 7) k2 − k2 2k2 − 3m2 3 m2 u1 = 0 u2 (7 ± 2 7) k2 4k 2 − − k2 m2 3 m2 解得： u11 2 7 + 5 u12 5 − 2 7 ； = − = u21 3 u22 3
………… (c)
令 u2 = 1 ，得到系统的振型为 ：
1
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1 0.09 -3.430
3.3 如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固 有频率和振型，画出振型图。 解：以静平衡位置为原点，设 m1 , m2 的位移 x1 , x2 为广义坐标，
求图所示系统的固有频率和振型，并画出振型图。设杆质量分布均匀。
求图所示系统当左边质量有初始位移 A 而其余初始条件均为零时的响
3.7
如图 T—3.7 所示由弹簧耦合的双摆，杆长为 L。 1．写出系统的刚度矩阵、质量矩阵和频率方程； 2．求出固有频率和振型； 3．讨论是值改变对固有频率的影响。
解：
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得到频率方程： = (ω 2 )
2 4 即： (ω 2 = ) 2I2 ω − 4kt1 I 2ω 2 + kt12 = 0
解得： ω1,2
所以： ω1 =
将（c）代入（b）可得： (2 ± 2) kt1 − kt 1 2kt1 − 2I 2 2 I2 u1 = 0 (2 ± 2) kt1 u2 − kt 1 kt 1 − I 2 2 I 2 解得： u11 u 2 2 ； 12 = = − u21 2 u22 2
3.1
如图所示扭转系统。设 = I1 2= I 2 ; kt 1 kt 2 1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵； 2．写出系统的频率方程并求出 I1 , I 2 的转角 θ1 , θ 2 为广义坐标，画出 I1 , I 2 隔 离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程： + k θ + k (θ − θ ) = + (k + k )θ − k θ = 0 0 I1θ I1θ 1 t1 1 t2 1 2 1 t1 t2 1 t2 2 ，即： 0 0 I 2θ 2 + kt 2 (θ 2 − θ1 ) = I 2θ 2 − kt 2θ1 + kt 2θ 2 = k + k I1 0 所以： [ M ] = = , [ K ] t1 t 2 0 I2 − kt 2 − kt 2 kt 2
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2 −1 2 0 由于 , [ K ] kt 1 = I1 2= I 2 ; kt1 kt= I= 2 ，所以 [ M ] 2 0 1 −1 1 θ u 2)设系统固有振动的解为： 1 = 1 cos ωt ，代入（a）可得： θ 2 u2 u1 ([ K ] − ω 2 [ M ]) = 0 u2 ………… (b)
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− k2 k 2 + k3
3 0 2 −1 由于 = = m = , [ K ] k2 m1 3m2 ;= k3 3= k2 3k 1 ，所以 [ M ] 2 0 1 −1 4 x u 2)设系统固有振动的解为： 1 = 1 cos ωt ，代入（a）可得： x2 u2 u1 ([ K ] − ω 2 [ M ]) = 0 u2 ………… (b)
k + k m1 0 所以： [ M ] = = ,[ K ] 1 2 0 m2 − k2
x x 系统运动微分方程可写为： [ M ] 1 + [ K ] 1 = 0 ………… (a) x2 x2 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 1 1 12 + m2x 22 = ET m1x 2 2 1 1 1 U= k1x12 + k2(x1 − x2 )2 + k3x22 2 2 2 求偏导也可以得到 [ M ] , [ K ]
2k − ω 2 m −k 得到频率方程： = (ω ) = 0 −k k − ω 2m
2 2 ) m 2ω 4 − 3kmω 2 + k = 0 即： (ω 2=
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x1 u1 = cos ωt ，代入（a）可得： x2 u2 ………… (b) u ([ K ] − ω 2 [ M ]) 1 = 0 u2
型图。
解： 1)以静平衡位置为原点， 设 m1 , m2 的位移 x1 , x2 为广义坐标， 画出 m1 , m2 隔 离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程： 0 x1 + k1 x1 + k2 ( x1 − x2 ) = m1 x2 + k2 ( x2 − x1 ) + k3 x2 = 0 m2
1 1 -2.736
3.4 如图 T—3.4 所示，由一弹簧是连接两个质量 m1，m2 构成的系统以速 度 v 撞击制动器 k1， 求传到基础上的力的最大值。 设 v 为常数且弹簧无初始 变形，并设 m1=m2 与 k1=2k。
3.5
3.6 应
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将（c）代入（b）可得：
解得：
令 u2 = 1 ，得到系统的振型为：
1.736
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(3 ± 5) k m −k 2k − u 2 m 1= 0 (3 ± 5) k u2 k− m −k 2 m u11 5 − 1 u12 1+ 5 ； = = − u21 2 u22 2
(2 − 2) kt1 (2 + 2) kt1 < ω2 = 2 2 I2 I2
………… (c)
令 u2 = 1 ，得到系统的振型为：
1 0.707 1
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-0.707
3.2
求图所示系统的固有频率和振型。设 = m1 3m2 ;= k3 3= k2 3k1 。并画出振
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−k2 2k2 − 3ω 2 m2 = 0 −k2 4k2 − ω 2 m2
2 2 14k2 m2 ± (14k2 m2 ) 2 − 4 × 3m2 × 7 k2 2 (7 ± 2 7) k2 = 2 6m2 3 m2
(7 − 2 7) k2 (7 + 2 7) k2 < ω2 = 3 m2 3 m2
θ θ 系统运动微分方程可写为： [ M ] 1 + [ K ] 1 = 0 ………… (a) θ θ 2 2 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 1 2 1 2 = ET I 1θ1 + I 2θ2 2 2 1 1 1 1 U = kt 1θ12 + kt 2(θ1 − θ2 )2 = (kt 1 + kt 2 )θ12 + kt 2θ22 − kt 1θ1θ2 2 2 2 2 求偏导也可以得到 [ M ] , [ K ]
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2kt1 − 2ω 2 I 2 − kt 1 = 0 − kt 1 kt 1 − ω 2 I 2
2 2 4kt1 I 2 ± (4kt1 I 2 ) 2 − 4 × 2 I 2 × kt12 (2 ± 2) kt1 = 2 4I2 2 I2