第三章 习题答案
3.1 设粒子被限制在半径为a 的球内运动，其势函数为
⎩⎨
⎧≥∞
<=a
r a
r r V 0)( 求粒子角动量为零时的波函数和能量。

解：l =0的状态即s 态，波函数与角度无关，
在r <a 范围内，s 态电子所满足的薛定谔方程为
()[]()0122
2
=+r k r r dr
d r ψψ 其中22
2
E
k μ=
令()()r r r u ψ=，则薛定谔方程变为
()()02
2
2=+r u k dr
r u d 解为：
()kr B kr A r u cos sin +=
即 ()r
kr
B r kr A r cos sin +=
ψ 要求()r ψ当r =0时有限，所以B=0，故
()r
kr
A r sin =
ψ 因为边界r =a 处是理想反射壁，粒子绝对不能透出壁外，所以。

于是有()0=a ψ
()0sin ==
a
ka
A a ψ 即 3,2,1==n n ka π
即 a
n k π=
r dr
d r 2
2
2
1=∇
上式代入22
2 E k μ= 中，得到能量为2
2
222n a
E μπ = 这一量子化能量与一维无限深势阱的结果类似。

波函数()r
kr
A r sin =
ψ 中常数A ，由归一化条件求得 12)2cos 1(214sin 144sin 2
202
20
2222
0==-==⋅=⎰⎰⎰⎰*
a A dx x k A dx x k A dr r r kr A d n ka
a
a
ππππτψψπ
所以 a
A π21=
最后得到归一化波函数为 ()r
r a n a
r ππψsin 21= 3.2 氢原子处于状态
),()(2
3),()(21),,(1,1210,121ϕθϕθϕθψ-+=
Y r R Y r R r 试求：（1）能量算符H ˆ、角动量平方算符2ˆL 和角动量z 分量z
L ˆ的可能取值； （2）上述三个量取个可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。

解：（1）能量的本征方程为
其能量为 ）
，，（ 2122
2
4
=-
=n n
e E s n μ 可见已知的波函数是能量的本征态，的
本征值为E 2。

角动量平方算符2ˆL 的本征方程为 ),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm
lm Y l l Y L += 可见已知的波函数是的角动量平方的本征态，角动量平方有确定值
2222)11(1 =+=L
角动量z 分量算符z
L ˆ的本征方程为 )()(ˆϕϕm m z m L Φ=Φ 题给定的状态不是L z 的本征态，而是L z 本征态的线性叠加，在
),()(2
1
0,121ϕθY r R 中，0,0==Z L m ；而在
),()(2
3
1,121ϕθ-Y r R 态中， -=-=Z L m ,1 )()(ˆr R
E r R H nl
n
nl
=H
ˆ
(2) 能量取E 2值的几率100%
角动量平方取222 =L 的几率100%
角动量z 分量取0=Z L 的几率1/4； 取 -=Z L 的几率3/4 （3）能量的平均值 2E E = 角动量平方的平均值 222 =L 角动量z 分量 4
3)(43041-=-⋅+⋅=
Z L 3.3 氢原子处于基态0
3
1
a r e
a
-
=
πψ
求：（1）半径r 的平均值；
（2）势能e s 2
-的平均值； （3）最可几半径； （4）动能平均值； （5）动量的几率分布。

解：（1）半径r 的平均值
00340300
23
22
3
)2(44)(0
a dx e x a a dr
e r drd r r r x a r
==
⋅=Ω⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞
-∞
-
πψ
（2）势能e s 2
-的平均值
2
020*********
2)2(44)(0a e dx xe a a e dr re a e drd r r e U s
x s a r
s s -=-=-=Ω-=⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞
-*ππψψ （3）最可几半径
电子在半径为r 的球面上的几率为
223
2
201)()(r e a r r r W a r
⋅==-πψ 由 0)22(0
)(0
20
2=-=-a r
e a r r r W dr
d
求得最可几半径为 0a r = （4）动能平均值 氢原子基态能量为
412
2
s e E μ=-
4
2222
12
0000
()2
22s s s s s e e e e e T E U a a a a μ=-=-
--=-+=
（5）动量的几率分布
将波函数按动量的本征函数展开，
()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅==
τψππψd e r p C p
d e p C r r
p i r p i
2323)
2(1)()()2(1 将氢原子基态波函数代入上式：
⎰⎰∞--
=
00
cos 2
20
2
3sin 1)2(2)(0
π
θθθπππdr d e
e
r a p C pr i
a r
（1）
先计算对θ的积分
)()(cos sin //1
1
1
10cos 0
cos pr i
pr i ipr ipr y prx i
prx i pr i
pr i
e e ipr dy e ipr prx i d e ipr dx e d e
d e
---------=-===-=⎰⎰⎰⎰⎰π
θπ
θθ
θθ （2) (2) 式代入（1）式，最后对r 积分
4
220225302
22202440503222024
40030320203
0300)1()1(20
2
3)
(8)()
(8
1)
(4211)1()1(1
2111)2(2)(00p a a p C p a a a p a a a ip
ip a p i a p i a ip a dr re ip dr re
ip a p C r p i a r p i a +=+=+⋅⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--⋅=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=
⎰⎰∞∞+---
πππππππ
3.4 设氢原子处于基态，求电子处于经典不允许区（指动能0)(<-=r V E T 的r 值）
的几率。

解：经典不允许区：
22
2
24
220
)(2a r e r r e e V E T s
s s >><---=-=μμ
氢原子中电子的径向几率分布为
2230
2
101004)(r e a r r R w a r
-==
电子出现在02a r =球面以外的几率
24.0131442121444242
22230210000≈=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++===--∞
-∞
-∞⎰⎰⎰e e dx x e dr r e a dr w x a a r
a
3.5 氢原子处于2p 态（n =2，l =1）时，求出电子径向分布几率最大值时的r 值；当m =1时
的角几率分布。

解：氢原子处于2p 态，电子径向分布几率
()00450
22
202302
2
2121313)1()(a r
a r e r a r
e a r a r r R r W --=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==
其最大几率所在的位置：
()0
4502140310a r e r a dr d r W dr d a r ==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=- n =2，l =1，m =1状态的角几率分布
θπ
θπϕθϕθϕ22
1111sin 83sin 83),(),(==
=i e Y w。