2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷
一、填空题(8×9=72)
1.已知111a b a b +=+，则
b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b +=+，则b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b -=+，则b a a b -=
___________.
【变式】已知：22114a b a b +=+，则2
2b a a b +=___________.
1b =
b =___________.
2.有________个实数x
.
【变式】x 为1,2,3，……，2014
x 有_______个.
【变式】x 为1,2,3，……，2014
为有理数的x 有_______个.
【变式】有________个整数x
.
3.如图，在ABC ∆中，AB AC CD BF BD CE ===，，，用含A ∠的式子表示EDF ∠，应为EDF ∠=_____________.
F
E
D
C
B
A
【变式】如图，在等腰直角ABC ∆中，
90,A ∠=AB AC CD BF BD CE ===，，，则 EDF ∠=_____________.
F
E
D
C
B
A
【变式】如图，在等腰直角ABC ∆中，0
901
A A
B A
C ∠===，，
D
E
F 、、分别是边BC CA AB 、、上的点，且CD BF BD CE ==，，则DEF S ∆面积最大值为__________.
F
E
D
C
B
A
4.在在直角坐标系中，抛物线223
(0)
4y x mx m m =+->与x 轴交于A B 、两点，若A B 、两点到原点的距离分别为OA OB 、，且满足1123OB OA -=
，则m =_________.
5.定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一周，若动圆B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r 共有______个可能的值.
6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人.
7.对于各数互不相等的正整数组()12n a a a ，，，(n 是不小于2的正整数)，如果在i j <时有
i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组
()2,3,1,4中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，
“3,1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组()1
23456a a a a a a ，，，，，的逆序数为2，
则
()654321a a a a a a ，，，，，的逆序数为___________.
8.若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<
+有唯一整数解的n 的最大值为______.
【变式】若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<
+有唯一整数解的n 的最小值为
______.
二、选择题(4×10=40)
9．已知2
12x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为( )
A. 3个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
10．如图，D E 、分别为ABC ∆的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作
//DM BA 交l 于M ，作//EN CA 交l 于N ，设ABM ∆面积为1S ，ACN ∆面积为2S ，则
( )
A. 12S S >
B. 12S S =
C. 12S S <
D. 1S 与2S 的大小与过点A 的直线位置有关
11.设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2
110x p x q ++=， 乙：
2220x p x q ++=，则 ( ) A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根
C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
12．设
22222222
12310071231007,1352013357
2015a b =+++
+=++++
，则以下四个选项中最接
近a b -的整数为( )
A ．252 B.504 C. 1007 D. 2013
三、解答题(38分，13题18分，14题20分)
13.直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC (B D 、位于AC 的两侧)，M N 、分别是AC BD 、的中点，且M N 、不重合， (1)线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论.
(2)若0
30BAC ∠=，
045,4CAD AC ∠==，求MN 的长. N
M
D
C
B
A
14.是否存在m 个不全相等的正数12(7)
m a a a m ≥，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周
上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值，若不存在，说明理由.
答案：1. ()2
1
,1,a b a b ab a b ab ++=⇒=+
()()2
2
2222121
a b ab a b b a a b a b ab ab ab +-+++===-=-=-.
事实上，这道题是一道错题：()2
1,1,a b a b ab a b ab ++=⇒=+注意了，()24a b ab +≥，已知条
件就错了，同样结果也错了，2
b a b a a b a b +=+≥=.
2.11,
3.EDF ∠=90°12A
-∠.
4.2,
5.11,
6.44,
7.13.
8. 220, 9．C
10．B ， 11 C.12．B.13.(1)MN BD ⊥
(2).
14.【解析】设
1234567811,,,
y x
a x a y a a a a a x a y x x y y =======
=，，，，，，显然是
一个周期为6的数列，
(1) 当0(mod6)m ≡,121100
1m
m m x x y x a a a y y a a a x x x y
y y -⎧
=⋅>⎧⎪=⋅⎧⎪⎪⇒⇒>⎨⎨⎨=⋅⎩⎪⎪=⋅≠⎩⎪⎩;
(2) 当1(mod6)m ≡,12111m m m x y x
a a a x y x x x a a a y -=⋅⎧=⋅⎧⎪
⇒⇒==⎨
⎨=⋅=⋅⎩⎪⎩与不全相等矛盾；
(3) 当2(mod6)m ≡,12111m m m a a a x y y x y a a a y x x -=⋅=⋅⎧⎧⇒⇒==⎨
⎨=⋅=⋅⎩⎩与不全相等矛盾；
(4) 当3(mod6)m ≡,12111m m m y x y a a a x x y a a a y x y
x -⎧
=⋅⎪=⋅⎧⎪⇒⇒==⎨
⎨=⋅⎩⎪=⋅⎪⎩与不全相等矛盾； (5) 当4(mod6)m ≡,1211111m m m x y a a a x x y a a a y x x x -⎧=⋅⎪=⋅⎧⎪⇒⇒==⎨⎨
=⋅⎩⎪=⋅
⎪⎩与不全相等矛盾；
(6) 当
5(mod6)
m≡,
12
11
1
1
11
m
m m
x y
a a a y
x y
a a a
x
y x
-
⎧
=⋅
⎪
=⋅
⎧⎪
⇒⇒==
⎨⎨
=⋅
⎩⎪=⋅
⎪⎩
与不全相等矛盾；
综上所述，当
0(mod6)
m≡，7
m>时，存在m个不全相等的正数12(7)
m
a a a m ≥
，，，
，
使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积.。