概率统计难题选解（一）
1. 在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点，连接起来又得一弦。

求这两弦相交的概率。

解 设圆周长为1，设圆周上一点坐标位置为0 ，逆时针绕圆一周后坐标位置为1。

不妨设第一条弦的一个端点位置为0 ，另一个端点位置为X ，第二条弦的两个端点位置为Y 和Z 。

X ，Y 和Z 可以看作是3个相互独立的服从]1,0[上均匀分布的随机变量。

当且仅当10≤≤≤≤Z X Y 或10≤≤≤≤Y X Z 时，两弦相交。

所以，两弦相交的概率为
}10{≤≤≤≤=Z X Y P p }10{≤≤≤≤+Y X Z P
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101
01010d d d d d d x y z x z y x x x x ⎰⎰-+-=10
10
d )1(d )1(x x x x x x 3
1
d )(21
2=
-=⎰x x x 。

2.从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。

求这时正好抽了n 张牌的概率。

解 设4种花色为A 、B 、C 、D 。

{P 抽n 次只抽到A n
⎪⎭⎫
⎝⎛=41} 。

{P 抽n 次最多只抽到A 、Ｂn
⎪⎭
⎫
⎝⎛=42} 。

{P 抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ}
{P =抽n 次最多只抽到A 、Ｂ{}P -抽n 次只抽到A {}P -抽n 次只抽到Ｂ}
n
n n n n ⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=41242414142 。

{P 抽n 次最多只抽到A 、Ｂ、Ｃn
⎪⎭
⎫
⎝⎛=43} 。

{P 抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ}
{P =抽n 次最多只抽到A 、Ｂ、Ｃ{}P -抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ}
{P -抽n 次抽到且只抽到A 、Ｃ}{P -抽n 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ}
{P -抽n 次只抽到A {}P -抽n 次只抽到Ｂ{}P -抽n 次只抽到Ｃ}
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-413412423n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43n
n ⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-413423 。

{P 前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ，第n 次抽到Ｄ}
4
1
41342343111⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n n n 。

{P 第n 次抽，首次抽到４种花式}
{P =前1-n 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ、Ｄ，第n 次抽到Ａ}
{P +前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｃ、Ｄ，第n 次抽到Ｂ} {P +前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｄ，第n 次抽到Ｃ} {P +前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ，第n 次抽到Ｄ}
4
1
413423414111⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n n n
1
1
1
41342343---⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫
⎝⎛=n n n 1
1143233---+⋅-=n n n 。

３.r 个人相互传球，从甲开始。

每次传球时，传球着可能把球传给其余1-r 个人中的任何一个。

求：
（１）传了n 次球，球仍没有回到甲手里的概率。

（２）传了n 次（1-<r n ），没有一个人接到过两次球的概率。

（３）第n 次传球时仍由甲传出的概率。

解 （１）第１次从甲传出后，又传了1-n 次，每次都没有传给甲，即传给其余1-r 人中除了甲以外的2-r 人中的任何一人，这样的概率为
1
2
--r r ，1-n 次后的概率为 1
12-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--n r r 。

（２）第１次，甲传给其余1-r 人中任何一人，概率为
1
1
--r r ； 第２次，传给其余1-r 人中除了甲以外的2-r 人中任何一人，概率为
1
2
--r r ； 第３次，传给其余1-r 人中除了已经接到球的人以外的3-r 人中任何一人，概率为
1
3
--r r ；
……
第n 次，传给其余1-r 人中除了已经接到球的人以外的n r -人中任何一人，概率为1
--r n
r 。

因此，所求概率为
)!
2()1()!
(1131211---=--⋅⋅--⋅--⋅--r r n r r n r r r r r r r n。

（３）设
{P 第n 次传球时由甲传出n p =}， {P 第n 次传球时由非甲传出n p -=1} 。

由于
{P 第n 次传球时由甲传出}
{P =第1-n 次传球时由非甲传出{}P 传给甲｜第1-n 次传球时由非甲传出}，
所以有递推公式
1
1
)
1(1--=-r p p n n ， ,3,2=n 。

下面用数学归纳法证明：
r
r p n n 2
)1(11---=
， ,3,2,1=n 。

首先，当1=n 时，r r p 211)1(1
1---
=1)
1(1=--=r
r ，
第１次由甲传出，显然11=p ，公式成立。

设已知当k n =时，公式成立，有r
r p k k 2
)1(1
1---
=
，下面看1+=k n 时：
11)1(1
--=+r p p k k 11)1(1112
-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
=-r r
r k 11)1(112
-⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎢⎣⎡
-+-=-r r r r k r
r k 2
)1()1(1
1-+--=。

公式也成立。

所以，对任何 ,3,2,1=n ，公式都成立。

４.掷均匀硬币直至第一次出现接连两个正面为止。

求这时正好掷了n 次的概率。

解 设
{P p n =掷n 次首次出现“正正”}。

因为
{P 掷n 次首次出现“正正”}。

{P =第1次掷出现“反”
，以后掷1-n 次首次出现“正正”} {P +第1次掷出现“正”，第2次掷出现“反”，以后掷2-n 次首次出现“正正”} 所以有递推公式
214
1
21--+=
n n n p p p ， ,5,4,3=n 。

同时，显然有
{1P p =掷1次首次出现“正正”0)(}=∅=P ，
{2P p =掷2次首次出现“正正”4
1
}=。

根据递推公式 214121--+=n n n p p p ，可以列出方程：4
1212
+=x x ，
解这个方程，得到两个解 4511+=
x ，4
5
12-=x 。

所以，n p 的表达式可以写成下列形式：
n
n n B A p ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=451451， 其中A ，B 是待定常数。

将初始条件代入，有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41451451045145122
21p B A p B A ， 解这个方程，得到 1055-=
A ，10
5
5+=B ，所以，最后得到问题要求的概率为 n
n
n p ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=45110554511055， ,3,2,1=n 。