= E[r2 ] − E2[r]
=λ
举例：光电倍增管暗电流影响
在有11146根PMT的探测 器中，已知每根PMT暗电 流产生的误击中为3.5kHz。 求探测器在任意总长度为 500μs时间段观察到每隔 10ns PMT误击中数目分 别为5和6的总次数
在10ns间隔观测到PMT误 击中的平均数目为
…
得到(n1,n2,…,nm)概率为
f
G (n)
=
N! n1!n2!...nm!
p n1 1
p n2 2
...
p n3 m
平均值 : E[ni ] = Npi
方差 :V[ni ] = Npi (1− pi ) 协方差 :Vij = −Npi p j (i ≠ j)
适适用用于于直直方方图图 频频数数误误差差估估计计。。
MRPC记录的击中数目N’
MRPC探测效率 测量值及其误差
从二项式到多项式分布
类似于二项式分布,但允许结果的可能性m大于两种,概率为
G p = ( p1, p2..., pm )
m
∑ pi = 1
尝试N次，结果为
可能性1：n1 可能性2：n2
G n = (n1, n2 ,..., nm )
i =1
举例：角分布中的前后不对称
e+
e+
θ e-
+ e− → J /ψ → e+ + e− -1 B：后向计数；F：前向计数；N=B+F
0
1
cos θe+e+
若上述过程平均事例数为ν，则观测到N个事例的 概率服从泊松分布
PP
=
e−νν N
N!
在这N个事例中，如果单个事例为前向的概率为f， 则观测到F个前向事例的概率满足二项式分布
E[x] = ∫ xP(x)dx = μ
在在所所有有统统计计问问题题扮扮演演中中心心角角色色，，应应用用于于所所有有科科 学学研研究究领领域域所所涉涉及及的的分分布布。。测测量量误误差差，，特特别别是是 仪仪器器误误差差通通常常用用高高斯斯函函数数来来描描述述其其概概率率分分布布。。 即即使使在在应应用用中中可可能能有有不不恰恰当当的的地地方方，，仍仍然然可可提提 供供与与实实际际情情况况相相近近的的很很好好近近似似。。
10−8 ×11146 × 3500 500μs
= 0.4
平均数
日本超级神冈中微子探测器
= 5 ⇒ 5×104 × 0.45 × e−0.4 ≅ 3(次) 5!
= 6 ⇒ 5×104 × 0.46 × e−0.4 ≅ 0.2(次) 6!
二项式分布与泊松分布
假设一学生站在路边想搭便车。过路的汽车平均 频率为每分钟一辆，服从泊松分布。而每辆车让 搭便车的概率为1%，计算该学生在过了60辆车 以后还未能搭上车的可能性
泊松分布
泊松分布是二项式分布在Ｎ→∞，
p→０和Ｎp=常数λ的极限形式。
P(r)
=
e−λ
λr
r!
平均值 :
E[r] = μ = ∑ rP(r) = λ
著名的统计误差估计式
n± n
适适用用于于稀稀有有衰衰变变过过程程 与与各各种种上上，，下下限限估估计计。。
方差 :
V[r] = σ 2 = E[(r − μ)2 ]
平均值 :
E[r] = μ = ∑ rP(r) = Np
适适用用于于仪仪器器探探 测测效效率率的的计计算算
可以证明其满足 归一化条件
∑ N! pr (1− p)N −r
r r!(N − r)! = [(1− p) + p]N = 1
方差 :
V[r] = σ 2
= E[(r − μ)2 ]
= E[r 2 ] − E 2[r] = Np(1− p)
二项式分布的特点
在在给给定定NN的的情情况况下下，，pp值值越越大大，，概概率率分分布布越越趋趋于于对对称称。。
举例:探测效率
多层阻性板室(MRPC)对带电粒子的探测
效率 宇宙线
闪烁体1与2同时击中给出
闪烁体1
MRPC
穿过MRPC的粒子数N
闪烁体2
p = N' N
Δp = p(1− p) N
粒子物理与核物理实验中的 数据分析
陈少敏 清华大学
第二讲:常用概率密度函数
本讲要点
常用的概率密度函数分布的数学形式 相应的平均值与方差 相关的应用范围
二项式分布
N 次独立测量，每次只有成功
(概率为p)或失败(概率为1-p) 两种可能。得到r次成功的概率
为 P(r) = N! pr (1− p)N −r r!(N − r)!
方差 :
V[x] = E[(x − μ)2 ]
PB
=
N! B!F!
f
F
(1 −
f
)B
观测到上述过程N个事例且有F个为前向事例的概率为
P
=
PP PB
=
e−νf (νf
F!
)F
× e−ν (1− f )[ν (1−
B!
f
)]B
是是前前向向与与后后向向两两 个个独独立立泊泊松松分分布布 的的产产物物！！
直方图中的误差处理
频数
总数N 各区间频数n1,n2,n3…
Probability
例如：对于以平均值为2 的泊松分布而言，相当于
二项式分布中的Np=2。 当N值增大时，为了保持 Np不变，p值相应减小。 可以从右图看出，当N大 于50时，两种分布的区 别几乎可以忽略。
N=10 N=20 N=50 N=100 泊松分布
r successes (or failures)
每个格子的 误差为 ni
观测量
在前述角分布前后不对称的 析，如果将角分布的前后向再 分几个部分，所得到的结论具 有普遍性。即所观测分布的直 方图可看成与
1. 一个事例总数满足泊松分布和 在每个区间得到n1,n2,n3…事例 数为多项式分布有关；
2. 或者是直方图中每个区间互相 独立的泊松分布有关。
ΔN = N
或
(ΔN )2 = N = (Δn1)2 + (Δn2 )2 + (Δn3 )2 + ...
= n1 + n2 + n3 + ... = N
高斯或正态分布
高斯函数具有连续性与对称性，概率密度为
P(x; μ,σ ) = σ
1
2π
exp⎜⎜⎝⎛
−
(x − μ)2 2σ 2
⎟⎟⎠⎞
记为 N(μ,σ)
平均值 :
N=60, p=0.01,r=0
特点：N大p小
根据二项式分布 :
60! 0.010 (1− 0.01)60−0 = 0.5472
0!(60 − 0)!
根据泊松分布 : e−60×0.01 (60 × 0.01)0 = 0.5488 0!
泊泊松松分分布布是是二二项项式式分分布布的的近近似似。。
泊松分布是二项式分布的近似