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李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)
n n
2)奇偶性
Pm(x) (1)m Pm(x)
3)递推关系
(n 1)Pn1(x) (2n 1)xPn (x) nPn1(x), n 1, 2.....
4) Pn (x) 在区间[-1,1]上具有 n 个不同的实零点。
6、什么是切比雪夫多项式?它有什么重要性质? 解:
当区间为[ -1 ,1 ],权函数 (x) 1 ,由 1, x, x2 ,...xn 正交化得到的多项式称为切比 1 x2
n
(k (x), j (x))a j ( f (x),k (x)), k 0,1,..., n.
j0
多项式做拟合曲线时,当次数 n 较大时,其法方程系数矩阵是高度病态,直接求解法方程是 相当困难的。系数矩阵如下:
1
1/ 2 ... 1/ (n 1)
H
1/ 2
1/ 3...源自1/(n2)
和变量均需要发生变化。
2、当 f (x) x 时,求证 Bn ( f , x) x
利用多项式展开定理证明: 证:
Bn (
f
,
x)
n k 0
f
(
k n
)
Pk
(
x)
n k 0
f
(
k n
)
n k
xk (1
x)nk
f (0)0
n
k
n!
n
xk (1 x)nk
(n 1)!
xxk 1(1 x)(n1)(k 1)
答:
在模型数据(如振动)具有周期性时,用三角函数特别是正弦函数和余弦函数作为基函数更
合适。
11、对序列做 DFT 时,给定数据要有哪些性质?对 DFT 用 FFT 计算时数据长度有何要求?
答:
1)要求有周期性。
2) 使用 FFT 计算是,数据长度为 2 p 时计算最好。
12、判断下列命题是否正确? (1)任何 f (x) C [a , b]都能找到 n 次多项式 Pn (x) Hn,使| f (x) - Pn (x) | ( 为任给
|| f (x) p*(x) || min || f (x) pn(x) ||
取∞-范数,则
||
f
(x)
p*(x) ||
min{max axb
|
f
(x)
pn(x) |}
4、什么是 f 在[a , b] 上的 n 次最佳平方逼近多项式?什么是数据 fi 0m 的最小二乘曲线拟
合? 解:
设 pn (x) 为最佳逼近函数,则 f C [a , b]在区[a , b]上的 n 次最佳平方逼近多项式
则
1
1[Pn
( x)]2dx
1 1
Qn2
(
x)dx
。
(5) T~n (x) 是[-1 , 1]上首项系数为 1 的切比雪夫多项式。Qn (x) Hn 是任一首项系数为
1 的多项式,则
max
1 x1
T~n (x)
max
1 x1
Qn (x)
.
(6)函数的有理逼近(如帕德逼近)总比多项式逼近好
(7)当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。
(8)三角最小平方逼近与三角插值都要计算 N 点 DFT,所以他们没有任何区别。
(9)只有点数 N 2p 的 DFT 采能用 FFT 算法,所以 FFT 算法意义不大。
(10)FFT 算法计算 DFT 和它的逆变换效率相同。 答: 1)使用勒让德等正交函数基进行求解 n 次多项式,不存在病态问题,且一定有解。因此正 确。 2)最佳一致逼近的表达式为
f
(x)
(x 1)3 在 C[0,1]上的最大值。而当
f (x) 3(x 1)2 0 时,x 1 ,即在 C[0,1], f (x) 不变号。 f (x) (x 1)3 是单调函数。
因此,| max | f (x) | 出现在端点 a 或 b 处。 a xb
x
1 ,||
f
||
max
axb
a0 a1 x a2 x2 .... an xn 0
由于需要解出 a0 , a1, a2 ,..., an 共 n+1 个未知数,构造 n+1 个方程,取 x x0 , x1, x2 ,..., xn
n
有方程组 a j xk j 0 ,则系数行列式为 k 0 j0
1
G
1
...
x01 x11 ...
雪夫多项式
Tn (x) cos(n arccos x) ,
若零 x cos( ) ,则
Tn (x) cos(n )
重要性质有 1)递推关系
Tn1(x) 2xTn (x) Tn1(x), n 1, 2..... T0 (x) 1,T1(x) x
2)正交性
1
Tm (x)Tn (x)
dx
0 0.5
本章习题中有几道题不会做,待再复习时完善。
第3章
复习与思考题
1、设 f C [a , b],写出三种常用范数|| f ||1,| f ||2 ,| f || .
答:
b
|| f ||1 | f (x) |dx a
b
|| f ||2 f (x)2 dx a
||
f
||
max
a xb
|
f
(x) |
2、f , g C [a , b],它们的内积是什么?如何判断函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线 性无关?
n
)
, det G 0 。
...
... ... ...
(n ,1)
(n ,2 )
...
(n
,
n
)
3、什么是函数 f C [a , b]在区[a , b]上的 n 次最佳一致逼近多项式? 解:
设 pn (x) 为最佳逼近函数,则 f C [a , b]在区[a , b]上的 n 次最佳一致逼近多项式
1 1 x2
nm nm0 nm0
3) T2n (x) 只含 x 的偶次幂, T2n1(x) 只含 x 的奇次幂。
4) Tn (x) 在区间[-1,1]上具有 n 个零点
xj
cos
2 j 1, 2n
j
1, 2,3....n
5) Tn (x) 的首项 xn 的系数为 2n1, n 1, 2,... 。
|
f
(x) |
max x1
| (x 1)3
|
0
x
0 ,||
f
||
max
axb
|
f
(x) | max | (0 1)3 x1
| 1
即
||
f
||
max
axb
|
f
(x) | max | (x 1)3 x0
| 1
b
b
|| f ||1 | f (x) | dx | (x 1)3 | dx
xi
] | |
min p
i0
[
f
xi
Pn xi ] |
m
| min [ f p i0
xi
Pn xi ] |2
由于勒让德多项式比任一首项系数为 1 的多项式拟合更准确。因此。其最小二乘和更小,即
1
1[Pn
( x)]2dx
1 1
Qn2
(
x)dx
因此,正确。
5)正确。书 P62。
6)正确,书 P79
3 k 0
f
(
k 3
)
3 k
xk
(1
x)3k
f
(0)
3 0
x0
(1
x)30
f
(
1) 3
3 1
x1
(1
x)2
f
(
2 3
)
3 2
x
2
(1
x)1
f
(1)
3 3
x3
(1
x)0
3 x 1 x2 x3 22
注意:伯恩斯坦多项式在0,1 上有效,如果区间超出,则应进行区间不变。那么常系数 1
设n (x) 是[ a , b ]上首系数 an 0 的 n 次多项式, (x) 为[ a , b ]上的权函数,如果多项式
序列
n
(
x)
0
满足如下关系式
b
0 jk
(
j
,k
)
a
( x)
j
( x)k
(x)
d
x
Ak
jk
,
则称多项式序列 n
(
x)
0
为在[
a
,
b
]上带权
(
x)
正交,称 n
(
x)
为在[
的误差限)。
(2) Pn* (x) Hn 是 f
(x)在[
a
,
b]上的最佳一致逼近多项式,则
lim
n
Pn*
(x)
f (x) 对
x [a, b] 成立。
(3)f (x) C [a , b]在[a , b]上的最佳平方逼近多项式
Pn
(x)
Hn
则
lim
n
Pn
(x)
f (x) 。
(4)P~n (x) 是首项系数为 1 的勒让德多项式,Qn (x) Hn 是任一首项系数为 1 的多项式,
7、用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同? 答:切比雪夫插值点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标,这些点在横坐标接近区间[-1,1] 的端点处是密集的;可使得插值区间最大误差最小化;高次插值时可避免龙格现象,保证在 整个区间上都收敛。 最大的区别是: 切比雪夫多项式与拉格朗日插值多项式对插值点的要求不一致。 切比雪夫多项式要求插值点为切比雪夫多项式零点。 拉格朗日插值多项式对插值点无特殊要求。 8、什么是最小二乘拟合的法方程?用多项式做拟合曲线时,当次数 n 较大时为什么不直接 求解法方程? 答: 最小二乘拟合的法方程