第九届“新希望杯”全国数学大赛七年级试题（B 卷）（时间：2013年3月24日 9：00~11：00 满分120分）一、选择题（每小题4分，共32分）1．方程2612312-+=-x x 的解为（ ）A ．21 B.27 C.21- D.29-2,已知a 、b 、c 都是整数，则2b a +、2c b +和2ac +中（ ）A ．必定都是整数 B.必定有两个是整数 C.必定有一个是整数 D.可能都不是整数3．已知有理数a 、b 满足如下关系：)0(≠-=ab ab ab ，b a b a -=+.用数轴上的点来表示a 和b ，下列表示正确的是（ ）xDCBA4．关于x 的方程|2x|=mx-3没有负根，则m 的取值范围是（ ） A ．m > -2 B.m > 2 C.m 2-≥ D.m ≥25.如图所示，OB 、OC 是∠AOD 内的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD.若∠MON=α，∠BOC=β，则∠AOD=（ ） A ．βα-2 B.βα- C.βα+ D.以上都不正确6．已知1a 、2a 、3a 、…、2013a 都是正有理数，（+⋯+++321a a a ))(20134322012a a a a a +⋯+++，N=（+⋯+++321a a a )(2013a )2012432a a a a +⋯+++， 则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M>N B.M<N C.M=N D.无法确定ACDM (第5题图）7．某中学七年级有13个课外兴趣小组，共165人.各组人数如下表：一天下午学校同学举办语文和数学交流会，已知有12个小组参加，其中参加数学交流会的人数与参加语文交流会的人数之比为4：3，还剩下一个小组未参加，这个小组是（ ）A ．第3组 B.第6组 C. 第9组 D.第12组8．某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算.苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元.则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（ ） A.400元 B. 713元 C. 760元 D.820元 二、填空题（每小题5分，共40分） 9．计算：[]45434312124.02178122---⎪⎭⎫⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-= . 10.若)23(1-=-m m A ，)12(3-=-m m B ，)1(5+=+m m C ，且n C B B A =-=-，则=n .11.观察一列按规律排列的数：2，1，32，21，52，31，…，则第8个数为 . 12.有三个互不相等的有理数，它们既可表示为1，x ，y x +的形式，又可表示为0，xy，y 的形式，则=+20132012y x . 13.如图，用图1所示的包装纸剪出图2所示的小图案，最多能剪 个. 14．如图，A 、B 、C 三地两两之间由若干条曲线连接，每条曲线表示两地之间的一种走法，那么从A 地到C 地可供选择的走法共有 种.图1（第13题图）图2（第14题图）15.满足02=-++b a ab 的所有整数对（a ，b ）有 对.16．已知∠A 与∠B 互补，且∠A>∠B ，代数式○1B ∠-︒90，○2A ∠-︒90，○3︒-∠90A ，○42BA ∠-∠中，可以表示∠B 的余角的是 （填序号）. 17.已知关于 x 的多项式()b x x x a b +---243是二次三项式， （1）求a 和b 的值；（2）设=y ()b x x x a b +---243，当x 3-=时，求()xyx xy xy x 214218222-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-的值.18．点C 是线段AB 延长线上一点，且BC 53=AB ，反向延长AB 到点D ，使AD 43=AC ，已知CD=56cm ， （1）求AB 的长度；（2）点P 是直线AB 上一点（与A 、C 不重合），AP 、CP 的中点分别为点M 、N ，求MN 的长度.19.有甲、乙两家眼镜厂，甲厂配套生产镜片和镜架，乙厂不配套生产镜片和镜某个季度内，甲厂销售10000副眼镜，乙厂销售镜片数量是镜架数量的4倍，乙厂获得的利润是甲厂的两倍，问：这个季度内，乙厂销售我镜片和镜架各多少副？20．如图1，将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写在八边形ABCDEFGH 的8个顶点上，并且以S1，S2，S3，……，S8分别表示（A ，B ，C ），（B ，C ，D ），……，（H ，A ，B ）8组相邻3个顶点上的数字之和。

（1）请给出一种填法，使得S1，S2，S3，……，S8都不小于12，在图2中完成；（2）是否存在一种填法，使得S1，S2，S3，……，S8都不小于13？证明你的结论.图2图1CE解答：一、选择题1．方程两边同乘以6，得2(21)2112x x -=+-，92x =-答案：D2．○1当a 、b 、c 三数同奇或同偶时，2a b +、2b c +、2c a+都是整数；○2当a 、b 、c 三数不完全为奇或不完全为偶时，2a b +、2b c +、2c a+只有一个是整数； 答案：C3．因为(0)ab ab ab =-≠，所以a 、b 异号；又a b a b +=-，所以0b b a ><且答案：C4．因为关于x 的方程23x mx =-没有负根，显然也不能有零根，也就是说x 为正数.因此原方程就可变化为23x mx =-，即(2)3m x -=，因此2m > 答案：B5．AOD AOM MON NOD ∠=∠+∠+∠BOM MON NOC =∠+∠+∠()BOM NOC MON =∠+∠+∠ 2αβααβ=-+=- 答案：A6．设232012S a a a =+++ ，则2120131201312013()()()M a S S a S a a S a a =++=+++，21201312013()()N a S a S S a a S =++=++，因为1a 、2013a 都是正有理数，所以M N >答案：A7．因为参加数学交流会的人和参加语文交流会的人数之比为4：3，所以参加交流会的总人数是7的倍数. 又因为1657234722117211872025=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+，对照可知，没有参加的是第6组 答案：B8．一次购物200元，须付款180元，苏老师第一次付款153元，购物原价是1530.9170÷=元，优惠17元；苏老师第二次付款220元，购物原价是(220180)0.8200250-÷+=元，优惠30元； 苏老师第三次优惠107173060--=元，其中的200元按九折计算，优惠20元，所以按八折计算的部分优惠40元，这一部分商品原价是200元，因此苏老师第三次所购商品的原价是400元，购物付款340元；苏老师二月份三次购物实际付款共153220340713++=元. 答案：B二、填空题9．原式5512255984542⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-÷--⨯÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦55529225⎛⎫=-⨯-⎪⎝⎭ 1=10．[][]2(32)1(21)32A B m m m m m m -=-+--+=--2[(21)3][(1)5]28B C m m m m m m -=-+-+-=-+ 22m m --=228m m -+10m =88n =11．规律：分子为2的数的分母，就是这个数所在位置的序数；分子为1的数的分母依次为 1，2，3，……；所以第8个数为1412．这里的三个有理数，其中之一个为0，一个为1；又x 不能为0，所以0x y +=，所以1yx=-，因此，1y =，1x =-，201220132x y += 13．最多12个14． A —B —C ：4312⨯=种，A —C ：3种，共15种15．0,2a b ==； 0,2a b ==- ； 2,0a b ==； 2,0a b =-=；共4对 16．○1○3○4 三、解答题17．（1）因为3(4)2ba x x xb ---+是二次三项式，所以4a =，2b =；（2）当3x =-时，()222232321y x x =--+=--⨯-+=-，22112[8(4)]22x xy xy x xy -+--221128222x xy xy x xy =--+-249x xy =-9= 18．（1）设5AB x =，则3BC x =，8AC x =，6AD x =，14CD x =，所以1456x =，4x =，20AB = （cm ）(2)由（1）知：AC=32cm.○1当P 点在AC 之间时，11116222MN MP PN AP PC AC =+=+==； ○2当点P 在AC 延长线上时，11116222MN PM PN AP PC AC =-=-==；○3当点P 在CA 的延长线上时，11116222MN PN PM PC AP AC =-=-==； 综上所述，16MN =cm.19.设乙厂销售镜架x 副，则销售镜片4x 副，根据题意，列方程得()47030(3515)210000(11350)x x -+-=-7000x =，428000x =乙厂销售镜片28000副，镜架7000副.20．因为12812++<，所以1和2这两个数不能在同一个数组中，并且1和2不能与两个相同的数构成数组（12a b a b ++≠++），所以1和2的相对位置如图甲：图甲12图甲22图甲3821图乙1821图乙28图乙38图乙48图乙58图乙6在图甲1的情况下，任意选定8的位置，（改变8的位置会有不同的填法）。

如图乙所示（图乙1和图乙2只有方向不同）。

下面只说图乙1：H 所在的位置不能是3，所以3一定会和2在同一个数组中，这时7也在这个数组中；因此这个位置也不能是4，因为含2和3的数组有两个，含1和4的数组中的第三个数不能小于7，所以如果在H 位填4，则至少还需要两个不于7的数；因此H 位的数只能是5或6：52图丙1652图丙16542图丙1765432图丙1类似的可以得到其它的填法：87654386542865432854328765432（2）不存在满足要求的填法.证明如下：假设存在满足要求的填法，则1和2、1和3不能出现在同一个三数组中（因为 12813813++<++<），所以1，2，3的分布如下图所示：2图丁132图丁232图丁3在图丁1和图丁3中，都会出现两个同时含有2和3的数组，这种数组中的第三个数不能小天8，所以这种情况不可能.在图丁2中，2和3之间的数是8，如图丁4所示：32图丁4dcba32图丁4设余下的四个位置上的数分别是a ，b ，c ，d ，则有12a b +≥，12c d +≥，所以24a b c d +++≥ ○1 又456722a b c d +++=+++= ○2 ○1和○2矛盾，所以不存在满足要求的填法.。