(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
−QL ⎥⎦
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
可转换为 LMI 求解的控制问题
• Robust stability of systems with LTI uncertainty (µ-analysis) • Robust stability in the face of sector-bounded nonlinearities (Popov
( )( ) ( ) AT P + PA + PB − CT
D + DT
−1
PB − CT
T
≤0
● iff LMI 可行
P
>
0,
⎡ ⎢ ⎣
AT P + PA BT P − C
PB −D
− −
CT DT
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
（4）非膨胀性（有界实引理） 考虑系统
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
第六章 线性矩阵不等式
6.1 线性矩阵不等式和 Schur 引理
假设 F ( x) 是关于实向量 x = [ x1 x2 " xn ]T 的一仿射实函数矩阵，其具有
如下性质：
F (x) = FT (x)
则称
= F0 + x1F1 + x2F2 +" + xn Fn Fi = FiT
F (x) < 0
H (s) ≤1 ∞
● iff 如下代数 Riccati 方程有解 P > 0
( )( ) ( ) AT P + PA + CTC + PB + CT D I − DT D −1 PB + CT D T = 0
● iff 如下代数 Riccati 不等式有可行解 P > 0
( )( ) ( ) AT P + PA + CTC + PB + CT D I − DT D −1 PB + CT D T ≤ 0
如果存在 Q > 0,Qi > 0(i = 1,", L) 和Y ，使得
∑ ⎡
⎢
AQ
+ QAT
+
BY
+YT
BT
+
L
Qi
⎢
i =1
T =⎢
QA1T
⎢ ⎢
#
⎢⎣
QALT
则 u (t ) = YQ−1x (t ) 镇定该系统。
A1Q "
−Q1 " #% 0"
●当
F (Q,Qi ,Y ) = diag{Q,Qi , −T} > 0 可行时， u (t ) = YQ−1x (t ) 镇定该系统。
⎡ξ ⎢⎣π
⎤ ⎥⎦
<
0
（2） 存在标量τ ≥ 0 和对称矩阵 P > 0 ，使得：
⎡ AT P + PA +τ CT C
⎢ ⎣
BT P
PB −τ I
⎤ ⎥ ⎦
<
0
6.2 控制问题与线性矩阵不等式
（1）稳定性与 LMI
X (t ) = AX (t )
A 为稳定矩阵 iff Lyapunov 不等式（LMI）
⎥ ⎥⎦
∑ ⎡
⎢
AT
P
+
PA
+
L
Pi
⎢
i =1
W =⎢ ⎢ ⎢
A1T P #
⎢⎣
ALT P
PA1 "
−P1 " #% 0"
● 如果 P > 0, Pi > 0(i = 1,", L), W < 0 ，则系统稳定。
● 如下 LMI 有可行解时，系统稳定。
⎡P
0⎤
⎢ ⎢
P1
⎥ ⎥
F
(
P,
Pi
)
=
⎢ ⎢
⎢
● iff LMI 可行
P
>
0,
⎡ ⎢ ⎣
AT
P + PA + CT BT P + DTC
C
PB + CT DT D −
D I
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
（5） H∞ 控制
ω
z
u
Байду номын сангаас
G
x
K
⎡ A B1 B2 ⎤
G = ⎢⎢C1
D11
D12
⎥ ⎥
⎢⎣ I 0 0 ⎥⎦
x = Ax + B1ω + B2u z = C1x + D11ω + D12u
criterion) • Quadratic stability of differential inclusions • Lyapunov stability of parameter-dependent systems • Input/state/output properties of LTI systems (invariant ellipsoids, decay
rate, etc.) • Multi-model/multi-objective state feedback design • Robust pole placement • Optimal LQG control • Robust H∞ control
• Multi-objective H∞ synthesis • Design of robust gain-scheduled controllers • Control of stochastic systems • Weighted interpolation problems
条件 S2 等价为存在标量τi ≥ 0,i = 1, 2,", m ，使得
∑ −
⎡ T0 ⎢⎣u0T
u0 ⎤
v0
⎥ ⎦
+
m
τi
i =1
⎡ Ti ⎢⎣uiT
ui vi
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
条件 Sˆ1 : 对满足 xTTi x ≥ 0,i = 1, 2,", m 的所有非零 x ，有 xTT0 x > 0
条件 Sˆ 2 : 存在标量τi ≥ 0,i = 1, 2,", m ，成立
F0 ( x) = xTT0 x > 0
（2） 存在标量τ > 0 ，使得： −T0 +τT1 < 0
● 如下命题等价：
（1） 存在对称矩阵 P > 0 ，使得对于满足π Tπ ≤ ξ TCTCξ 的所有π 和ξ ≠ 0 ，成
立：
⎡ξ ⎤T ⎡ AT P + PA
⎢⎣π ⎥⎦
⎢ ⎣
BT P
PB 0
⎤ ⎥ ⎦
（2） 存在标量τ ≥ 0 ，使得如下 LMI 可行：
−
⎡ T0 ⎢⎣u0T
u0 v0
⎤ ⎥ ⎦
+τ
⎡ T1 ⎣⎢u1T
u1 v1
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
● 对于 F1 ( x) = xTT1x ≥ 0 ，存在 x ，使得 F1 ( x ) > 0 ，则如下命题等价： （1） 对于使得 F1 ( x) ≥ 0 的所有 x ，成立
A 为稳定矩阵
y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
系统为非膨胀的（nonexpansive）: 当 x (0) = 0 时，
T
∫0
yT
(t
)y
(t
)
dt
≤
T
∫0
uT
(t
)u
(t
)
dt
● 系统为非膨胀的 iff
H ∗ (s) H (s) ≤ I, ∀ Re s > 0 (有界实条件)