此时 外接圆面积最小为 .
故答案为: .
【点睛】
本题以抛物线为背景，考查切线方程、向量模长夹角、面积公式、正弦定理、二次函数最值等基础知识，综合性强、计算量大，意在考查直观想象、逻辑思维、数学计算能力，属于难题.
16．已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】用坐标法表示向量坐标，设 ， ，即求 与
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】根据已知条件可得 是周期函数，且周期为 ，将自变量转化为 ，即可求出结论.
【详解】
是定义在 上的奇函数，
的图像关于直线 对称，
，
，
是周期为 的周期函数，
.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的周期性、函数的奇偶性和对称性，要掌握函数对称性的代数表达式，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.
【点睛】
本题考查空间点、线、面的位置关系，证明异面直线垂直，考查空间角，要注意用几何法求空间角“做”“证”“算”三步骤缺一不可，属于中档题.
20．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）证明： 为常数列，并求 ；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）根据已知 ，求出 ，再由 得到 ，化简可证 为常数列，即可求出 ；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抽象函数求值，考虑用赋值法，令 ，求出 ，再令 得出 关系，利用基本不等式求出 ，结合 ，求出 ，再用赋值法即可求出结论.
【详解】
令 ，
令 ，
，
，
，
，
，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查抽象函数求值，赋值法是解题的关键，利用基本不等式是突破口，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
17．已知 ， ，函数 （其中 表示对于 ，当 时表达式 的最大值），则 的最小值为______.
【答案】
【解析】根据 的定义，设 的最大值为 ，根据二次函数的性质，分类讨论求出 的最大值，求出 ，再求出其最小值.
【详解】
设 ，对称轴方程为 ，
当 ，
在 单调递增，
当 ，
在 单调递减，
，
所以 的最小值为 .
（2）连接 交 于 点，连接 ，可得 ，转化为求直线 与平面 所成角，由（1）可得平面 平面 ，过 作 ，可证 是直线 与平面 所成角，在 中求出 即可.
【详解】
（1）如图所示，延长 ， ， ， ， 交于点 ，
由题意得 ，取 中点 ，连接 ， ，
则 ， ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（2）连接 交 于 点，连接 ，
13．已知直线 ： ，到当实数 变化时恒不在 上的点 所形成的图形面积为______.
【答案】
【解析】根据点到直线距离公式，求出原点 到直线 的距离 ，得到 关于 的函数，根据函数特征求出其最大值；将直线 方程看成关于 的方程，由于平面内所有点 恒不在 上的，因此关于 的方程无实根，由判别式 ，得出图形，即可求出面积.
（2）由（1）求出 进而求出 通项公式，根据通项公式对 分类讨论，分组求和，即可得出结论.
【详解】
（1）因为 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，即 ，
同除 得， ，
整理得 ，所以 为常数列.
因为 ，所以 ，
则 ，所以 .
（2）由（Ⅰ）得 ，
所以 ，
则 ，
①当 ， 时，
，
②当 ， 时，
，
综上， .
【点睛】
两点间距离的范围，根据已知等式求出 关系式，即可求解.
【详解】
设 ，由 ，
得 整理得 ，
表示椭圆上的动点
到定点 （左焦点）的距离，
当 点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为 ，
所以 取值范围是 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查向量的坐标表示、曲线轨迹方程、椭圆几何性质，解题的关键是向量坐标化，考查数形结合思想，属于中档题.
短半轴长 ，
由三角形两边之和大于第三边可得，
正方体棱上点到 之和最大值为 ，
当 时，满足条件的点 只有6点，不合题意，
的取值范围是 .
故选:D.
【点睛】
本题考查满足条件的点的个数的求法，以及正方体的结构特征，注意椭圆性质的合理应用，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
9．已知函数 满足：对任意的实数 ， ，都有 成立，且 ，则 （）
【答案】D
【解析】由题意可得，点 是以 为焦距的椭圆，利用三角形两边之和大于第三边，以及点 的个数大于6个，短半轴长不小于 ，即可求出 的范围.
【详解】
点 是正方体棱上的一点，满足
点 是以 为焦距的椭圆与正方体棱的交点，
正方体的棱长为2，正方体面的对角线为 ，
点 的个数大于6个， 椭圆的半短轴长 ，
【详解】
做出满足 的可行域，如下图所示，
根据图象，当目标函数 过 时，
取得最小值为 .
故答案为:A.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．2B． C． D．3
【答案】B
【解析】根据三视图的特征，在正方体中还原出直观图为三棱锥，如下图示，根据三棱锥与正方体关系，即可求解.
【详解】
在正方体中可得三视图对应的三棱锥 的直观图，
其中 为 中点，正方体的棱长为 ，
.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求体积，在特殊的几何体中还原直观图是解题的关键，属于基础题.
5．已知等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】根据双曲线中的 关系，可得 ，即可求出结论.
【详解】
双曲线 的一条渐近线为 ，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
3．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A．-4B．-2C．0D．2
【答案】A
【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出 的最小值.
14．在 中， ， ， ， 为线段 的中点，则 ______， ______.
【答案】2
【解析】根据向量的线性关系可得 ，结合向量的模长求出 ，进而求出 ，再由余弦定理求出 和三角形面积.
【详解】
为线段 的中点， ，
，
，
，
.
故答案为: ； .
【点睛】
本题考查向量线性关系模长公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
15．已知抛物线 ： 和直线 ： ， 是直线上 一点，过点 做抛物线的两条切线，切点分别为 ， ， 是抛物线上异于 ， 的任一点，抛物线在 处的切线与 ， 分别交于 ， ，则 外接圆面积的最小值为______.
【答案】
【解析】设三个切点分别为 ，求出三条切线 方程，三条切线方程分别联立求出 坐标，点 在直线 上，得到 关系，求出 ，进而求出 ，设三角形 外接圆半径为 ，利用 ，求出 的解析式，根据其特征，求出最小值.
【答案】C
【解析】根据 与 关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论.
【详解】
设等比数列 公比为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前 项公式，属于基础题.
6．已知 是定义在 上的奇函数，且 的图像关于直线 对称.若当 时， ，则 （）
则 且 ，
所以直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，
由（Ⅰ）得 平面 ，又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，
过 作 平面 ，
则 是直线 与平面 所成角.
由（Ⅰ）得 是二面角 的平面角，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
再由正弦定理得 ，
，
在 中， ，
在直角 中， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】15 4
【解析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.
(2)根据二项式定理的通项公式分析 的指数为整数的项的个数即可.
【详解】
(1)根据二项式定理的通项公式 .
故取常数项时 .此时常数项为 .
(2)当取有理项时, 整数.此时 .故共有4项.
故答案为：(1). 15 (2). 4
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型.
【点睛】
本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.
19．如图，在四棱台 中，底面是正方形，且 ，点 ， 分别为棱 ， 的中点，二面角 的平面角大小为 .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）将四棱台还原为棱锥，延长 ， ， ， ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ， ，可得 ， ，可证 平面 ，即可证明结论；
二、填空题
11．设 为虚数单位，给定复数 ，则 的虚部为______；模为______.
【答案】
【解析】根据复数的乘除法运算法则求出 ，即可得出结论.
【详解】
，
所以 的虚部是 ，模长为 .
故答案为: ； .
【点睛】
本题考查复数的代数运算、复数的模长，属于基础题.
12．二项式 的展开式中常数项等于______，有理项共有______项.