第二十四讲 多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

类型二、多边形内角和定理例2.证明：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．【思路点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明．【答案与解析】已知：n边形A1A2……A n，求证：∠A1+∠A2+……+∠A n=（n-2）·180°，证法一：如图(1)所示，在n边形内任取一点O，连O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，n个三角形内角和为n·180°，减去以O为公共顶点的n个角的和2×180°(即一个周角)得n边形内角和为n·180°-2×180°-(n-2)·180°．证法二：如图(2)所示，过顶点A 1作对角线，把n 边形分成了(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰是多边形的内角和，即(n-2)·180°．方法三：如图(3)所示，在多边形边上任取一点P ，连这点与各顶点的线段把n 边形分成了(n-1)个三角形，n 边形内角和为这(n-1)个三角形内角和减去在点P 处的一个平角，即(n-1)·180°-180°＝(n-2)·180°． 【总结升华】证明多边形内角和定理，关键是构造三角形，利用三角形的内角和定理进行证明． 举一反三：【变式】练习：求下列图中的x 的值.【答案】()11409036065+++=∴=xx x()2215012090318060++++=⨯∴=xx x例3如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．【思路点拨】根据多边形的内角和定理即可列方程求的新多边形的边数，减去1即可得到原多边形的边数． 【答案与解析】解：设新多边形是n 边形，则180（n ﹣2）=2520 解得：n=16．则原多边形的边数是：16﹣1=15． 答：原多边形的边数是15．【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 举一反三：【变式】一个多边形的内角和是540º，那么这个多边形的对角线的条数是 . 【答案】5类型三、多边形的外角和例4.如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是（ ）A ．140米B ．150米C ．160米D ．240米【思路点拨】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长． 【答案】B.【解析】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15， ∴小明一共走了：15×10=150(米)． 故选B ．【总结升华】本题考查了多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数． 举一反三：【变式1】如图，一辆小汽车从P 市出发，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P 市，这辆小汽车共转了多少度角？BA【答案】：如图，ABCPαγβ当小汽车从P 出发行驶到B 市，由B 市向C 市行驶时转的角是α，由C 市向A 市行驶时转的角是β，由A 市向P 市行驶时转的角是γ.因此，小汽车从P 市出发，经B 市、C 市、A 市，又回到P 市，共转360=++γβα. 【变式2】已知一个多边形的内角和与外角和共2160º，则这个多边形的边数是 . 【答案】12【变式3】一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（ ） A.4 B. 5 C.6 D.7【答案】C.解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°， ∴边数n=360°÷60°=6． 故选：C ．【巩固练习】 一、选择题1．从n 边形的一个顶点出发共有对角线( )A ．(n-2)条B ．(n-3)条C ．(n-1)条D ．(n-4)条2．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 3．下列图形中，是正多边形的是( )A ．三条边都相等的三角形B ．四个角都是直角的四边形C ．四边都相等的四边形D ．六条边都相等的六边形 4．六边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．360°5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．156．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和 ( )A ．都不变B ．内角和增加180°，外角和不变C ．内角和增加180°，外角和减少180°D ．都增加180°7．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )A ．135°B ．240°C ．270°D ．300° 二、填空题8．一个多边形的每一个外角的度数等于与其邻角的度数的31，则这个多边形是 边形. 9．如图，AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠ACB= ．10．如图，小明从A 点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．11．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________．12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有_____条对角线． 三、解答题13．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．14．如图所示，根据图中的对话回答问题．问题：(1)王强是在求几边形的内角和?(2)少加的那个内角为多少度?15．一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ； 2. 【答案】C ；【解析】解：∵360÷40=9，∴这个多边形的边数是9． 故选：C ．3. 【答案】A ；【解析】正多边形：各边都相等，各角都相等 4. 【答案】B ；【解析】(6-2)×180°=720°. 5. 【答案】C ；【解析】由180(2)3602520n -+=，解得：14n = 6. 【答案】B ；【解析】当多边形的边数增加1时，内角和增加180°，外角和不变 7. 【答案】C. 二、填空题 8. 【答案】八.【解析】设每个外角为x ，则31)180(⨯-=x x，解得45=x ，而多边形边数845360==n . 9.【答案】36°；【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB ，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°10.【答案】120.【解析】解：由题意得：360°÷36°=10，则他第一次回到出发地A 点时，一共走了12×10=120（米）． 故答案为：120．11．【答案】4； 12.【答案】三十，405； 三、解答题 13.【解析】解：设多边形的边数为n ，根据题意，有：n ＝2(n-3)， 解得n ＝6，故这个多边形的边数为6． 14.【解析】解：(1)因为1140°÷180°＝163，故王强求的是九边形的内角和；(2)少加的内角的度数为(9-2)·180°-1140°＝120°．15.【解析】解：设多边形的边数为x，由题意有（x﹣2）•180=2680，解得x=16，因而多边形的边数是17，则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°．。