2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则AB =（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（A ）4-（B ）6 （C ）10 （D ）17（3）在△ABC 中，若=13AB ,BC =3，120C ∠= ,则AC =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n ?1+a 2n <0”的（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - （7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF BC →→的值为 （A ）58-（B ）18（C ）14（D ）118（8）已知函数f （x ）=2(4),0,log (1)13,30)ax a a x x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f（x ）│=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i )(1-bi ）=a ，则ab的值为_______. （10）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.（第11题图）（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.(13)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)＞f （2），则a 的取值范围是______.(14)设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E . 若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为32p 的值为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15) 已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-3.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分） 如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.（20）（本小题满分14分）设函数f (x )=（x-1）3-ax -b,x ∈R ，其中a ,b ∈R 。

(I)求f (x )的单调区间；(II)若f (x )存在极点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； (III)设a ＞0,函数g (x )=∣f (x )∣,求证：g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于．．．.参考版解析 1．D【解析】{}1234A =，，，，{}14710B =，，，，∴{}14A B =，，选D ．2．B【解析】可行域如上图所示，则当取点(3,0)时，25z x y =+取得最小值为63．A【解析】设AC x =由余弦定理得：29131cos120232x x +-︒==-⋅⋅2243340x x x x -=-⇒+-= 1x =或4-（舍），∴1AC =，选A ． 4．B【解析】第一次：8s =，2n = 第二次：2s =，3n = 第三次：4s =，4n =，满足3n >，输出4s =. 5．C【解析】设数列的首项为1a ，则222122212111=(1)0n n n n n a a a q a q a q q ----+=++<，即1q <-，故0q <是1q <-的必要不充分条件．6．D 【解析】渐近线:2b OB y x =设002b B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则0012228b b x x ⋅⋅=，∴01x =，∴12b B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴222124b +=，∴212b =∴221412x y -= 7．【解析】BFE DCBABC AC AB =-AF AD DF =+1322AB DE =+1324AB AC =+ ∴()1324BC AF AC AB AB AC ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭1113311111222442=⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅1313144288=+--=，选B ．8．C 【解析】由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上递减，则01a << 又由()f x 在R 上单调递减，则：20(4-3)03(0)113343402a a f a a⎧+⋅+≥=⎪⇒⎨-≥⎪⎩≤≤ 由图像可知，在[0,+)∞上，()2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，()2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即23a >时，联立2(43)32x a x a x +-+=-， 则2(42)4(32)0a a ∆=---=，解得：34a =或1（舍），当32a 1≤≤时，由图像可知，符合条件.综上：∴123334a ⎡⎤⎧⎫∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，选C ．9．2ab= 【解析】()()11i bi a +-=，1b i bi a ++-=，∴1b a +=12b a =⎧⎨=⎩，2ab= 10．56- 【解析】()3552781C 56xx x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴系数为-56 11．2【解析】121323V ==×××12【解析】连接OD ，可得，BODBDE △△，∴23BD BO BE =⋅=∴BD DE =AEC DEB △△，AE CEDE BE =2EC ，EC ∴ECDBA13．1322a << 【解析】由()f x 是偶函数可知，()0-∞，单调递增；()0+∞，单调递减 又()()122a f f ->-，()()22f f -=可得，122a -<即112a -<∴1322a << 14．6P =【解析】x 、y 满足函数22y px =；,02p F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭3CF p ∴=，3=2AB AF p =可得：()2A p p ， 易知AEB FEC ，12AE AB FE FC ==，故11132332ACE ACF S S p p ==⨯⨯⨯△△2232p == 26p ∴=0p >，∴6p =15．【解析】()ππ4tan sin cos 323f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭134sin cos 32x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭)sin 231cos 23x x =+-- sin 23x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(Ⅰ)定义域ππ2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，,2ππ2T ==（Ⅱ）ππ44x -≤≤，5πππ2636x --≤≤，设π23t x =-，∵sin y t =在5ππ62t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，时单调递减，在ππ26t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时单调递增由5πππ2632x -≤-≤-解得ππ412x --≤≤，由πππ2236x -≤-≤解得ππ124x -<≤ ∴函数()f x 在ππ124⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增，在ππ412⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调减16． 【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4()112343210C C C 1C 3P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2 ()222334210C C C 40C 15P X ++=== ()11113334210C C C C 71C 15P X +=== ()1134210C C 42C 15P X ===()7811515E X =+= 17． 【解析】（Ⅰ）证明：找到AD 中点I ，连结FI ，∵矩形OBEF ,∴EF OB ∥∵G 、I 是中点，∴GI 是ABD △的中位线∴GI BD ∥且12GI BD =∵O 是正方形ABCD 中心∴12OB BD =∴EF GI ∥且EF GI =∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG FI ∥∵FI ⊂面ADF ∴EG ∥面ADF（Ⅱ）O EF C --正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系O xyz -z xA()00B ，，()200C，，，()2E ，，()002F ，，设面CEF 的法向量()1n x y z =，，()()()()110000220n EFx y z n CF x y z z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，，，，， 得：01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴()1201n =，，∵OC ⊥面OEF，∴面OEF 的法向量()2100n =，，1212122cos 3n n n n n n ⋅<>===，12sin 1n n <>=， （Ⅲ）∵23AH HF =∴()224020555AH AF ⎫===⎪⎪⎝⎭，， 设()H x y z ，，∴()405AH x y z ⎫=+=⎪⎪⎝⎭，，得：045x y z ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩45BH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，12165cos 3BH n BH n BH n -⋅<>==， 18．【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=⋅21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值． ∴{}n C 为等差数列⑵2213211(1)nk n k n k T b C C C -==-=++⋅⋅⋅+∑21(1)42n n nC d -=+⋅212(1)nC d n n =+-（*） 由已知22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=⋅=+= 将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+ ∴2111112(1)nnk k kT d k k ===+∑∑21111(1)2311221k k d ⋅=⋅⋅++--+-+212d<，得证19． 【解析】（Ⅰ）113eOF OA FA+=∴31a+=解之得2a=∴椭圆方程为：22143x y+=（Ⅱ）由已知，设l斜率为k(0)k≠，方程为(2)y k x=-设()B BB x y，00((2))M x k x-，，1()x MOA MAO∠∠≥≤，()HH O y，2222221(34)161612043(2)x yk x k x ky k x⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩，0∆>成立由韦达定理221612234Bkxk-⋅=+，∴228634Bkxk-=+，212(2)34B Bky k xk-=-=+001:(2)()HMl y k x x xk--=--令0x=，得12Hy k x kk⎛⎫=+-⎪⎝⎭∵HF FB⊥，∴(1)(1)0H B BFH FB y x y⋅=-⋅-=，，即2228612111203434B H Bk kx y y k x kk k k-⎡⎤⎛⎫-+=--+-=⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∴202920112(1)kxk+=+≥，∴283k≥∴kk≤．20.【解析】（1）()()31f x x ax b=---()()2'31f x x a=--①0a≤，单调递增；②0a>，()f x在,1⎛-∞⎝单调递增，在11⎛⎝单调递减，在1⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增（2）由()0'0f x=得()231x a-=∴()()()320000131f x x x x b=----()()200121x x b=----()()()()32000032223132f x x x x b-=-----()[]200018896x x x b=---+-()()200=121x x b----()()()00132=f x f x f x∴-=1023x x∴+=（3）欲证()g x在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x，使得121()()2g x g x -≥即可①当3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减(2)12f a b =-- (0)1f b =--1(0)(2)2242f f a -=->≥递减，成立当03a <<时，311f a b ⎛⎛⎛=-- ⎝⎝⎝a b =+23a b =-11f a b ⎛⎛+=- ⎝⎝23a b =-- ∵(2)12f a b =-- (0)1f b =-- ∴(2)(0)22f f a -=-若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立当34a >时，411132f f ⎛⎛--+= ⎝⎝，成立。