各向异性弹性体的应力
和应变关系
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下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。

1.完全各向异性弹性体
根据格林公式和广义胡克定律，有
；对于上式，如果
对切应变xy 求偏导数，有。

同理，有
；对于上
式，如果对正应变x 求偏导数，有。

因此，C 14=C 41。

对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则
C mn =C nm
上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。

其本构方程为
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体?
如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。

垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。

若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。

以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。

将x轴绕动 z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。

新旧坐标系之间的关系为
x y z
x'l
1=-1 m
1
=0 n
1
=0
y'l
2=-1 m
2
=0 n
2
=0
z'l
3=-1 m
3
=0 n
3
=0
根据弹性对称性质。

关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。

所以
x'
=x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx
x'
=x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx
根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。

根据完全各向异性弹性体的本构方程，将
代入广义胡克定理，可得
将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有
C 14=C
16
=C
24
=C
26
=C
34
=C
36
=C
54
=C
56
=0
这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。

具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
3．正交各向异性弹性体
若物体每一点有两个弹性对称面，称为正交各向异性弹性体。

以下根据完全具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程
推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。

设 xz 平面也是弹性对称面，即y 轴也是弹性主方向。

在具有一个弹性对称面的基础上，
将 y 轴绕动z 轴转动角度，成为新的Ox'y'z'坐标系,。

根据弹性对称性质。

关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。

所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为
=x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx
x'
=x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx
x'
将上述关于y 轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。

为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有
C
= C25= C35= C64=0
15
这样，对于具有二个弹性对称面的弹性体，
，其弹性常数由13个将减少为9个。

于是其应力应变关系简化为
假如弹性体有3个弹性对称面，也就是说，如果设xy平面也是弹性对称面，z 轴也为弹性主方向，则类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。

因此，如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，则第三个必为弹性对称面。

二个弹性对称面的弹性体本构方程表明：如果坐标轴与弹性主方向一致时，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。

这种弹性体称为正交各向异性弹性体，其独立的弹性常数为9个。