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（5）假设政府可以选择储蓄率 s，则在稳态能够达到的最高消费水平 ct＝Ct/（AtLt） 是多少？什么储蓄率能够实现这一水平？
答：（1）不妨设代表性竞争企业面临的产品市场价格为 1，则企业的最优化问题是： Max π＝AtαLtαKt1－α－WtLt－RtKt 利润最大化的一阶条件为： ∂π/∂Lt＝αAtαLtα－1Kt1－α－Wt＝αYt/Lt－Wt＝0 ∂π/∂Kt＝（1－α）AtαLtαKt－α－Rt＝（1－α）Yt/Kt－Rt＝0 解得：WtLt/Yt＝α，RtKt/Yt＝1－α。 因此，劳动和资本的分配份额均为常数。 （2）由生产函数可得：yt＝Yt/（AtLt）＝（AtLt）α－1Kt1－α＝[Kt/（AtLt）]1－α＝kt1－α， it＝It/（AtLt）＝sYt/（AtLt）＝syt。由题意知，稳态时，Δk＝syt－（l＋δ＋μ）kt＝0，代 入 yt＝kt1－α，解得 kt＝[s/（l＋δ＋μ）]1/α，则 yt＝[s/（l＋δ＋μ）]（1－α）/α，it＝s[s/（l＋ δ＋μ）]（1－α）/α。 kt 稳态增长率为 0，则资本 Kt＝AtLtkt 的稳态增长率是劳动力和劳动生产率增长率之和， 即 l＋μ；则 yt 稳态增长率为 0，则产出 Yt＝AtLtyt 的稳态增长率也是劳动力和劳动生产率增 长率之和，即 l＋μ。 （3）由（1）（2）可知，经济达到稳态时，Rt＝（1－α）Yt/Kt＝（1－α）yt/kt＝（1 －α）（l＋δ＋μ）/s，这是一个常数，得证。 经济达到稳态时，Wt＝αYt/Lt＝αAtyt，因为稳态时 yt 增长率为 0，所以 Wt 增长率等于 At 增长率μ。 （4）稳态时，资本产出比为：Kt/Yt＝ktAtLt/（ytAtLt）＝kt/yt＝s/（l＋δ＋μ），所以资 本产出比是常数。
答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是 Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为 y ＝f（k）。在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L 下降，使 k＝K/L 上升了。由总量 形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。但是，由于人均资本存量水平上升了， 工人人均产出将会增加。
（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的 经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。如图 1-1 所示， 灾害发生后的人均资本存量位于 k*右边的某一个位置 k1。但是 k1 不是稳定状态，这时人均 储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态 过渡。因此，在长期中，人均资本存量下降到 k*，经济重新达到稳定状态。在这个过程中， 由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。在稳定状态，技术进步决定人 均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。因此这和灾害发生 前是一样的。
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图 1-1 资本存量恢复稳态水平
2．某经济体的生产函数为：Yt＝（AtLt）αKt1－α，其中 AtLt 为效率劳动单位，如参数 At 上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。在每一期，消费者将 s 比例的产出 投资于新资本，即 It＝sYt，资本运动方程为：Kt＋1＝（1－δ）Kt＋It，其中δ为折旧率。设 劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：Lt＋1＝（1＋l）Lt，At＋1＝（1＋μ）At。
3．一国政府实行科教兴国战略。 （1）该国政府加大对教育的投入支出，而且因此劳动生产率会提高。请问这对该经济 的影响。同时问资本效率劳动比在立即实行这一措施后会有什么变化，长期稳定后又会如何。 请作图分析。 （2）实施该战略后经济的增长率是否会提高？同时以人均消费来衡量的生活水平是否 会提高？描述经济从增长率变化到最终过渡到稳定状态的过程。 （3）若该国政府采取减少赤字的政策，请问这对该国经济会有如何影响，对资本效率 劳动比有什么影响？是否会改变经济增长率最终的稳定状态？ 答：设该国总量生产函数为 Y＝F（K，EL），其中，Y 代表总产出，K 代表资本存量，E 代表教育投入，L 代表劳动力，且该生产函数规模报酬不变。那么，Y/（EL）＝F[K/（EL）， 1]，设 y＝Y/（EL）表示产出效率劳动比，k＝K/（EL）表示资本效率劳动比，则有 y＝f（k）。 设劳动力增长率为（dL/dt）/L＝n，教育投入增长率为（dE/dt）/E＝g，折旧率为δ，储蓄 率是 s，则该国经济的稳态方程是：（dk/dt）/k＝sy－（n＋g＋δ）k＝0。 （1）该国政府加大对教育的投入支出，意味着 E 与 g 增大了，由于 K 不变，所以资本 效率劳动比 k＝K/（EL）下降了。 如图 1-2 所示，长期来看，政府加大对教育的投入支出，使资本广化线（n＋g＋δ）k 逆时针旋转，均衡时的资本效率劳动比 k 从 kA 降低到 kB，经济的均衡产出也下降了。
试回答以下问题：（其中前 4 问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实） （1）设代表性竞争企业分别按实质工资 Wt 和实质利息 Rt 雇佣劳动和资本，写出企业 的最优化问题，证明劳动和资本分配份额 WtLt/Yt 和 RtKt/Yt 在该经济中均为常数。 （2）分别用效率劳动单位表达有关的变量，即 yt＝Yt/（AtLt），kt＝Kt/（AtLt），it＝It/ （AtLt）等，则当经济达到稳态时，yt，kt，it 分别为何？产出和资本的稳态增长率分别为何？ （3）证明当经济达到稳态时，资本回报 Rt 为常数。工资在稳态时会增加吗？如是，增 长率为何？ （4）证明资本产出比在稳态时为常数。
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（5）消费最大化问题转化为：max ct＝yt－syt＝kt1－α－（l＋δ＋μ）kt； 消费最大化的一阶条件为：dct/dkt＝（1－α）kt－α－（l＋δ＋μ）＝0； 解得：kt＝[（1－α）/（l＋δ＋μ）]1/α，则 ct＝α[（1－α）/（l＋δ＋μ）]（1－α）/α，yt ＝kt1－α＝[（1－α）/（l＋δ＋μ）]（1－α）/α，s＝（yt－ct）/yt＝1－α。
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第二部分 章节题库
第 1 章 索洛增长模型
1．在 Solow 模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定灾害中没有损失。请问人均资本、人均产出在短期和 长期的变化趋势。