二、材料成形数值模拟
4、数值模拟方法的基本特点及应用现状 将微分方程边值问题的求解域进行离散化，将原来欲求得在 求解域内处处满足场方程、在边界上处处满足边界条件的要求降 低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所 导出的一组代数方程的数值解。
二、材料成形数值模拟
（1）材料液态成形
二、材料成形数值模拟
3、材料成形数值模拟含义 通过数值计算得到用微分方程边值问题来描述的具体材料成 形问题中工件和模具的速度场（位移场）、应变场、应力场、温 度场等，据此预测工件中组织性能的变化及可能出现的缺陷；利 用计算机图形技术将这些分析结果直观的、动态的呈现在设计人 员面前，使他们能通过这个虚拟的材料加工过程检验工件的最终 形状、尺寸、性能是否符合设计要求，正确选用机器设备和模具 材料。
L 2 1 P 2 y ( ( ) y ) t ( c 2 c y 3 c y ) }dy 0 1 2 3 0 1 L E L 2 2 1 P 2 ) y )t (c1 2c2 y 3c 3 y ) }dy 0 0 y {1 ( L E 2 1 P L 3 2 0 y {1 ( L ) y )t (c1 2c2 y 3c 3 y ) E }dy 0
二、材料成形数值模拟概述
1、材料加工的含义 材料加工是人类利用自然，创造有用产品的基本生产活动。 2、材料成形的基本规律描述 （1）流动方程、热传导方程、平衡方程或运动方程等微分方程描
述。
（2）具体成形问题给定由该问题特点所确定的定解条件，包括 边值条件条件和初值条件等。
二、材料成形数值模拟概述
值解将越逼近精确解。有限元法适应任何复杂的和变动的边界。
三、材料成形数值模拟基础
1、数值模拟方法 （2）有限差分法
以差分代替微分，将求解对象在时间及空间上进行离散，对
每个离散单元进行各种物理场分析（如温度场、流动场及应力场 等），然后将所有单元的求解结果汇总，得到整个求解对象在不
同时刻的行为变化，并对分析对象的可能变化趋势作出预测。具
（1）材料液态成形
二、材料成形数值模拟
（1）材料液态成形
二、材料成形数值模拟
（2）材料塑性成形
二、材料成形数值模拟
（2）材料塑性成形
二、材料成形数值模拟
（3）材料黏流态成形
二、材料成形数值模拟
（4）材料焊接成形
二、材料成形数值模拟
5、材料成形数值模拟的发展趋势 （1）模拟分析由宏观进入微观
（2）解决工模具调试或产品成形过程中的技术问题。 （3）解决成形制品批量生产中的质量控制问题。
二、材料成形数值模拟
4、数值模拟方法的基本特点 将微分方程边值问题的求解域进行离散化，将原来欲求得在 求解域内处处满足场方程、在边界上处处满足边界条件的要求降 低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所 导出的一组代数方程的数值解。
有求解简单、速度快、前后置处理易于实现等优点。
三、材料成形数值模拟基础
2、有限元法的基本步骤
（1）建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解为节点和单元 。
（2）假设代表单元物理行为的形函数。 （3）对单元建立方程。
（4）将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。
（5）应用边界条件、初值条件和负荷。 （6）求解线性或非线性微分方程组，以得到节点的值。 （7）后处理。
再来看例子，任意单元的应变能为
对ui与ui＋1求最小化应变能有：
写成矩阵形式为
对于任意单元，最小化节点i和i＋1处的外力所作的功有：
对于上述例子，用最小总势能公式和直接公式法得到的总体 刚度矩阵是完全一致的。
进一步应用边界条件和负荷，有
5.加权余数法
为控制微分方程假设一个合理解，假设解必须满足给定问题
（6）求解代数方程
杆在y方向横截面面积的变化由下式表示
每个单元的对等刚度系数可以由下式计算出
（6）获取其它信息
4、最小总势能公式法
物体在外力作用下产生变形，在变形期间，外力作的功以弹 性能的方式储存在物体中，即为应变能。考虑承受集中力F的物 体的应变能：
AE F( )l ky l
1
当实体拉伸量为dy’时，物体内储存的能量为：
考虑节点的温度，必须满足以下条件
将节点值代入方程，有
(3) 等参单元 使用一组参数（一组形函数）定义u、v、T等未知变量，并
使用同样的参数（同样的形函数）表示几何关系，则可使用等 参公式。用这种方式表示的单元称为等参单元。
使用四边形单元，实体单元的位移可以根据节点的值表示为：
矩阵形式
3、三维单元
（2）加大多物理场的耦合分析
（3）不断拓宽数值模拟在特种成形中的应用
（4）强化基础研究
（5）关注反向模拟技术应用
（6）模拟软件的发展 （7）协同工作 （8）模拟结果与设备控制的关联
三、材料成形数值模拟基础
1、数值模拟方法 （1）有限元法
将求解域离散为一组有限个形状简单且仅在节点处相互连接
的单元的集合体，在每个单元内用一个满足一定要求的插值函数 描述基本未知量在其中的分布。随着单元尺寸的缩小，近似的数
（e )

v
E 2 d dV 2 2 v
由n个单元和 m个节点组成的物体的总势能为：
＝ e Fu i i
i 1 i 1
n
m
由最小势能原理有：
ui ui
e ui e 1
n
F u
k 1 k
m
k
0(i 1, 2,3 , n)
四、有限元单元类型及形函数
1、一维单元
（1）一维一次单元及形函数 1）形函数的概念
（1）一维一次单元及形函数
T
(e)
c1 c2 X
将节点值代入方程，得
Ti c1 c2 X i T j c1 c2 X j
2）形函数的性质 ①在相应节点上值为1，而在另一个相应节点上值为
0.
三、材料成形数值模拟基础
3、直接公式法 例：考虑带有负荷P的变横截面杆。如图所 示，杆的一端固定，另一端承受负荷P，以 ω1代表杆的上端宽度，ω2代表杆的下端宽度， 杆的厚度为t，长度为L。弹性模量用E表示。
确定当杆承受负荷P时，在沿杆长度的不同点
上位移、应变、应力大小。忽略杆重。
三、材料成形数值模拟基础
②形函数的和为1.
例：如图所示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分 布位置，求悬臂梁在（a）X＝4cm和（b） X＝ 8cm处的位移。
解：（a）悬臂梁在X＝4cm处的位移由单元（2） 来表示。
（b）悬臂梁在X＝8cm处的位移由单元（3）来 表示。
（2）整体、局部和自然坐标
2 、二维单元
（1）、矩形单元
一维的解是由线段近似的，二维的解是由平面片近似的。
考虑节点的温度，必须满足以下条件
代入求得
得到对于典型单元由形函数表示的温度
应用这些形函数表示任意未知参数Ψ，即
自然坐标是局部坐标的无量纲形式，局部坐标系x、y的原点取 在自然坐标的ξ＝－1，η＝－1处，如下图。
（2）线性三角形单元
三角形内部的变量变化表示为下式
（1）4节点四面体单元
最简单的三维有限元单元，仅有4个节点，每个节点有3个
自由度，分别沿X、Y、Z方向。
设有如下位移函数
应用节点位移条件，求解系数C，则方程可简化为
（1）将问题域离散成有限的单元
三、材料成形数值模拟基础
（2）假设近似单元行为的近似解
考虑一个等横截面为A的实体的位移量，单
元的长度为l,承受的外力为F，如图所示。
三、材料成形数值模拟基础
AE F＝（ )l l
上式与线性弹性方程F＝kx相似。因此上述单 元可以视为一个弹簧，其等价刚度为
AE keq l
2008

王刚，单岩等. Moldflow模具分析应用实例.清华大学出版社，2005
完成题目要求
1、掌握Dynaform、Pamstamp2G等有限元分析软件，完成金属板 料成形零件的数值模拟分析。要求针对多次拉延工艺进行参数优 化，设计出模拟方案，分析后获得结论。最后提交详细分析过程 1份，完成标准论文1篇。 2、掌握Moldflow模流分析软件，自选塑料产品，完成其三维造型， 注射过程分析。提交详细分析过程1份。完成标准论文1篇。
将作用力和负荷区分，方程组可化为：
（3） 对单元建立方程
将作用力和负荷区分，方程组可化为：
（4）将单元组合起来表示整个问题
单元（1）的刚度矩阵表示如下：
它在总体刚度矩阵中的位置如下：
对于单元（2）、（3），有
最终总体刚度矩阵为：
（5）应用边界条件和负荷
有限元公式可写成如下形式：
位移矩阵＝负荷矩阵 ［刚度矩阵］
三、材料成形数值模拟基础
节点1：R 1－k1 (u2 u1 ) 0 节点2：k1 (u2 u1 ) k 2 (u 3 u2 ) 0 节点3：k 2 (u 3 u2 ) k3 (u 4 u3 ) 0 节点4：k3 (u 4 u3 ) P 0
重组方程，得方程组：
第一章 绪论
一、CAE技术的发展
CAE 泛指包括分析、计算和仿真在内的一切研发活动，是由
计算力学、计算数学、结构动力学、数字仿真技术、工程管理学 与计算机技术相结合，而形成的一种综合性、知识密集型信息产
品。其核心是有限元理论和数值计算方法。
一、CAE技术的发展
20世纪60年代
CAE软件出现
20世纪70 ～80年代 CAE技术蓬勃发展 20世纪90年代 CAE技术成熟壮大
1 2 1 d Fdy kydy ky ( ky) y 2 2 0 0