球的表面积和体积
1．球的表面积公式:Ｓ球面=4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式:V球＝错误!πR3（R为球半径)
球的表面积和体积的计算
过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为1２πcm2，试求此球的表面积.
若截面不过球的半径的中点,而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直,若此截面的面积为π,试求此球的表面积和体积.
球的表面积及体积的应用
一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少？
有关球的切、接问题
求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,内切球的体积.
有三个球，第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
一个球内有相距9 cｍ的两个平行截面，面积分别为49π cm2和4００π cm2,求球的表面积．
基础训练
1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A.错误!
B.1Ｃ．2 D.３
2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的_＿__＿___倍．
3.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为４８π cm2,试求此球的表面积和体积.
4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )
A．3∶π Ｂ．２∶πＣ.１∶２π D.1∶3π
5.（２０13·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是３，4,5，且它的８个顶点都在同一球
面上,则这个球的表面积是( ）
Ａ.25π B.5０πC．1２5π D ．都不对
4．把３个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱,则圆柱的高为( )
Ａ．R B ．2R C ．３Ｒ D ．4R
6．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（ ）
A ．πa ２
B ．错误!πa 2Ｃ．错误!πａ2 D ．5πａ2
7．圆柱形容器内盛有高度为8 c ｍ的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球,则球的半径是_______＿cm ．
提高训练.
１.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为４、５、5,则这只小球的半径是 （ )
A.3或8 Ｂ.8或11 ﻩＣ．5或8ﻩﻩＤ.３或1１
2.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点,三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=６0º ,AB ＝2， BC =4,则球O 的表面积为( )
A ． 24π B.32π C. 48π D.192π
３.一几何体的三视图如右图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．4π Ｂ.π3
Ｃ．π2 D.π
4． 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )
A.3263+ Ｂ. 2＋263 C. 4+263 D. 43
26
3+
5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为( )
A ．5π
B ．１２πﻩ
C ．20π
D ．8π
６．【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为６的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是( ）
A. 18
B ．３6 C. 45 ﻩ D ．ﻩ５4
7.【浙江省重点中学协作体2０１５届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为１,则该几何体外接球的表面积为( ）
A ． 4π B.π3 C ．π2 Ｄ.π
８．【山西省大同市２０1５届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为ａ，顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（ ）
A.2a π Ｂ. 237a π C.
23
11a π D ． 25a π
9.【四川省成都实验外国语高2０15届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为１的正方形,则此四面体的外接球的表面积为( ） A ．3π Ｂ.π4 Ｃ.π2 Ｄ.π2
5
10． 【全国高考新课标（I)理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8c ｍ，将一个球放在容器口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6c ｍ,如果不计容器的厚度，则球的体积为（ )
A 、错误!cm ３ﻩﻩＢ、错误!cm 3
Ｃ、错误!cm 3ﻩ D 、错误!cm 3
1１. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ） Ａ．π12125 Ｂ.π9125 Ｃ．π6125 D ．π3
125 1２.在半径为Ｒ的球内放入大小相等的４个小球,则小球半径r 的最大值为（ ） Ａ． （错误!－１）Ｒ B . (错误!-２)R Ｃ.错误!R
D ． 错误!Ｒ
１３. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面,球心到这个平面的距离是4,则该球的体积是 .
1４.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上,其中ABC ∆是正三角形,PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .
15．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
16． 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为１的正方形,ABCD PA ⊥，2=PA ，
则该球的体积为 _ .
17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ,且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度.
19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点Ａ、Ｂ、C 、D,DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3,求球O 的体积．
２0. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ,求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.
21. 一个正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积.
２2. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
6
1,经过3个点的小圆的周长为π4,求这个球的半径．。