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答案
例 3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是 48π cm2，求球的表面积．
[解] 如图所示，设 O′为截面圆圆心，则 OO′⊥O′A，O′A 为截 面圆的半径，OA 为球的半径 R.
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7.3 球的表面积和体积
[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3. 会运用这些公式进行简单的有关计算.
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【主干自填】
1．球的表面积公式：S 球面＝_□0_1__4_π_R_2_(R 为球的半径)．
2．球的体积公式：V 球＝__□0_2_43__π_R_3 (R 为球的半径)．
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半 径之间有什么关系？
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提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图 中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
提示：V＝43πR3 S＝4πR2 这两个公式说明球的体积和表面积都由球的 半径 R 唯一确定．其中球的体积是半径 R 的三次函数，球的表面积是半径 R 的二次函数，并且表面积为半径为 R 的圆面积的 4 倍．
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提示
2．球的表面积扩大 2 倍，球的体积扩大( ) A．2 倍 B. 2倍 C．2 2倍 D．3 2倍
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答案
解得 x＝742.则 O1A＝O1B＝O1C＝942.
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理，得R2 2＋9
4
22＝R2.解得
R＝3 2
6 .
故 S 球面＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
[解] 如下图所示，作出轴截面，O 是球心，与边 BC、AC 相切于点 D、
E.
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答案
连接 AD，OE，∵△ABC 是正三角形，
∴CD＝12AC.∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ 3 cm， ∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴OAOE＝CADC. 设 OE＝r，则 AO＝( 3－r) cm，∴ 3r－r＝12，
则球的体积为( )
32 A. 3 π
B.83π
C．8 2π
D．4 3π
答案 D
解析 所得截面圆的半径为 r＝ 2，因此球的半径 R＝ 12＋ 22＝ 3， 球的体积为43πR3＝4 3π.
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答案
解析
例 2 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm，求球的体积．
提示：C 球的表面积扩大 2 倍，半径扩大 2倍，从而体积扩大( 2)3＝ 2 2倍．
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提示
3．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
提示：A 设两球的半径为 R1，R2，∵R1∶R2＝1∶3，∴两个球的表面 积之比为 S1∶S2＝4πR21∶4πR22＝R21∶R22＝1∶9.
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类题通法 球的表面积和体积的解题方法
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的 截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这 种解题的思想值得重视．
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[变式训练1] 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面面积为 2π，
答案
∵48π＝π·AO′2， ∴AO′2＝48. 在 Rt△OO′A 中，OA2＝OO′2＋AO′2， ∴R2＝R2 2＋48，解得 R＝8. ∴S 球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)． 即球的表面积为 256π cm2.
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提示
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例 1 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一 半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[解] 如图所示，设球心为 O，截面圆圆心 O1，球半径为 R，
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连接 OO1，则 OO1 是球心到截面的距离． 由于 OA＝OB＝OC＝R， 则 O1 是△ABC 的外心． 设 M 是 AB 的中点，由于 AC＝BC，则 O1 在 CM 上． 设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x. 又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
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[变式训练2] 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球 的底面圆内，若正方体棱长为 6，求球的表面积和体积．
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解 作轴截面如图所示，
CC′＝ 6，AC＝ 2· 6＝2 3， 设球的半径为 R， 则 R2＝OC2＋CC′2＝( 3)2＋( 6)2＝9， ∴R＝3，∴S 球＝4πR2＝36π，V 球＝43πR3＝36π.
若球的半径为 R，截面圆的半径为 r，OO′＝d. 在 Rt△OO′C 中，OC2＝OO′2＋O′C2，即 R2＝r2＋d2.
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提示
(2)球的半径为 R，它的体积公式为________，它的表 面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？
∴r＝
3 3
cm，V 球＝43π
333＝4273π(cm3)，
即球的体积等于4273π cm3.
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类题通法 截面在有关球计算中的作用
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为 平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角 面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体 之间的主要位置关系和数量关系．