n n
p
nq
0
复习与思考
1.由函数 y f (x) 及直线 x a, x b, y 0y b
围成的曲边梯形的面积S=__a _f_(_x_)d_x__；
2. 在我班同学身高频率分布直方图中O a ①区间（a,b）对应的图形的面积表示 _身__高__在__区__间__(_a_,_b_) _内__取__值__的__频__率____，
正态曲线.gsp
特别地有
P(m s X m s ) 0.6826, P(m 2s X m 2s ) 0.9544, P(m 3s X m 3s ) 0.9974.
例3.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N（10，0.12）（单位：kg）任选一袋这种大米质量 在9.8~10.2kg的概率是多少？
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
变式训练2
把一个正态曲线 (x)沿着x轴向右移动2个单位，得到
新的一条曲线 (x) .下列说法中不正确的是（ D ） A.曲线 (x) 仍然是正态曲线；
B.曲线(x)和曲线 (x) 的最高点的纵坐标相等；
C.以曲线 (x) 为概率密度曲线的总体的期望比以曲
2.4 正态分布
两点分布 X 0 1
P 1-p p
超几何分布
X0
1
P
CM0 CNn M CNn
二项分布
C C 1 n1 M NM CNn
…k
…
C C k nk M NM CNn
…n
…
Байду номын сангаас
CMn CN0 M CNn
X0
1 … k …n
P … … C
0 n
p
0q
n
C
1 n
p
1q
n－1
C
k n
p
k
q
n k
C
一天从该厂生产的零件中取两件，测得其外直径分别 为9.52和9.98，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
作业:课本习题2.4 A组 第1题. B组 第2题.
归纳小结
1.正态曲线及其特点 2.正态分布
1
( x1)2
e 8 , x (, )
2 2
说明：当m0 , s 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
变式训练1
若一个正态分布的密度函数是一个偶函数且该函数与y
轴交于点 (0, 1 ) ，求该函数的解析式。
4 2
(x)
1
x2
e 32 , x (, )
4 2
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布：
O
正态曲线的特点
m，s (x)
1
( xm )2
e 2s 2
2 s
μ ＝1
μ一定
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
ｘ
O
ｘ
（5）当 一定时，曲线随着 的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例题探究
例2 关于正态曲线性质的叙述：
(1)曲线关于直线x =m 对称，整条曲线在x轴的上方；
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.
正态分布记作N（ m，s2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布，则记作记为
X~N(m,s2)
例题探究
例1．给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出
其均值m和标准差s
(1)
(x)
1
x2
e 2 , x (, )
2
m0 , s 1
(2)
m1 , s 2 (x) 新疆 王新敞 奎屯
变式训练3：
若X~N（μ，σ2），问X位于区域（μ，μ＋σ）
内的概率是多少？ 解：由正态曲线的对称性可得，
P(m x m s ) 1 P(m s x m s ) 0.3413
2
我们从上图看到，正态总体在 m 2s , m 2s 以外取 值的概率只有4.6％，在 m 3s , m 3s 以外取值的
线 (x) 为概率密度曲线的总体的期望大2 ；
D.以曲线 (x) 为概率密度曲线的总体的方差比以曲
线 (x) 为概率密度曲线的总体的方差大2。
特殊区间的概率:
若X~N (m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
P(m a x ≤ m a)
ma
ma m,s ( x)dx
x=μ
m-a m+a
1
e
(
xm )2 2s 2
2 s
x( , )
O x=m
x
曲线的位置、对称性、最高点、与x轴围成的面积
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=m对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
正态曲线.gsp
σ一定
μ =-1
μ ＝0
②在频率分布直方图中， 所有小矩形的面积的和 为___1____．
a
bx
b
高尔顿板试验
y 频数 组距
总体密度曲线．
0
x
总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多， 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的 概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无 限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于 一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．
y
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
m,s (x)
1
2s
e
( xm )2
x 2s 2
(,)
式中的实数m、s是参数
正态分布密度曲线(正态曲线)
探究发现
正态分布
y
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
0
ab
P(a X b) a m,s (x)dx
x
则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s
概率只a 有0.3 ％。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ）， 通常称这些情况发生为小概率事件。
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 (m 3s , m 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能. 在实际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原 则.
例4 某厂生产的T型零件的外直径x~ N（10，0.22），
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
正态曲线的特点
y
m，s (x)