单元测试(二) 二次函数 (时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBDBCDACBB1．下列函数解析式中，是二次函数的是(D) A ．y ＝3x －1B ．y ＝x 3－2x －3 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝3x 2－12．函数y ＝12x 2＋2x ＋1写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式是(B)A ．y ＝12(x －1)2＋2B ．y ＝12(x ＋2)2－1C ．y ＝12(x －1)2－3D ．y ＝12(x －1)2＋123．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－4的图象过坐标原点，则a 的值是(D) A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝－4D ．a ＝2或a ＝－24．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)的图象如图所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是(B)A ．有最小值－5、最大值0B ．有最小值－3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值65．对于二次函数y ＝4(x ＋1)(x －3)，下列说法正确的是(C) A ．图象开口向下B ．与x 轴交点坐标是(1，0)和(－3，0)C ．x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝－16．将二次函数y ＝x 2＋2x －1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是(D) A ．y ＝(x ＋3)2－2 B ．y ＝(x ＋3)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋2D ．y ＝(x －1)2－27．已知抛物线y ＝a(x －2)2＋k(a>0，a ，k 为常数)，A(－3，y 1)，B(3，y 2)，C(4，y 3)是抛物线上三点，则y 1，y 2，y 3由小到大依次排列为(A) A ．y 2<y 3<y 1B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 18．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过(C) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限9．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s 与提出概念的时间t(单位：min)之间近似满足函数关系s ＝at 2＋bt ＋c(a ≠0)，s 值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t 与s 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为(B) A ．8 minB ．13 minC ．20 minD ．25 min10．小轩从如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象中，分析得出了下面五条信息：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③b ＋2c ＞0；④4ac －b 2＞0；⑤a ＝32b.其中正确的信息有(B)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每小题3分，共15分)11．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是(1，2)，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． 12．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则△ABC 的面积为6．13．若二次函数y ＝x 2－bx ＋1的顶点在x 轴上，则b ＝2或－2．14．若二次函数y ＝2(x ＋1)2＋3的图象上有三个不同的点A(x 1，4)，B(x 1＋x 2，n)，C(x 2，4)，则n的值为5．15．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则边BC的长是33．图1 图2三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)已知抛物线L：y＝(m－2)x2＋x－2m(m是常数且m≠2)．(1)若抛物线L有最高点，求m的取值范围；(2)若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．解：(1)∵抛物线L有最高点，∴m－2＜0.∴m＜2.(2)∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，∴m－2＝－1.∴m＝1.17．(9分)已知二次函数y＝－x2＋2x＋k＋2的图象与x轴有两个公共点．(1)求k的取值范围；(2)当k＝1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；(3)在(2)的条件下，直接写出当x取何值时，y＞0.解：(1)由题意，得Δ＝22－4×(－1)×(k＋2)＞0，解得k＞－3.(2)当k＝1时，二次函数为y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴抛物线与x轴的公共点A和B的坐标分别是(－1，0)，(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点C的坐标是(1，4)．(3)当－1＜x ＜3时，y ＞0.18．(9分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(1，0)，C(0，3)． (1)求b ，c 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)在所给的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P ，使得△ACP 的周长最短(直接写出点P 的坐标)．解：(1)将A ，C 坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.(2)函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.(3)如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为点B ，则点A 与点B 关于对称轴对称， 连接BC ，与对称轴的交点即为点P. 求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 当x ＝2时，y ＝－2＋3＝1，即P(2，1)．19．(9分)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，BC ＝x ，∴AB ＝CD ＝40－x2.根据题意，得y ＝AB ·BC ＝x ·40－x 2＝－12x 2＋20x(0＜x ≤25)．(2)∵y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2＋200，∴当x ＝20时，绿化带面积最大．20．(9分)如图，直线AB 过x 轴上一点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B ，C 两点，B 点坐标为(1，1)．(1)求直线AB 的解析式及抛物线y ＝ax 2的解析式； (2)求点C 的坐标； (3)求S △COB .解：(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(2，0)，B(1，1)都在y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋2. ∵点B(1，1)在y ＝ax 2的图象上， ∴a ＝1，抛物线的解析式为y ＝x 2.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴点C 的坐标为(－2，4)．(3)S △COB ＝S △AOC －S △AOB ＝12×2×4－12×2×1＝3.21．(10分)如图所示，一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？解：(1)∵当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，∴抛物线的顶点坐标为(0，3.5)．∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋3.5.由图知图象过点(1.5，3.05)，∴2.25a＋3.5＝3.05.解得a＝－0.2.∴抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，∵y＝－0.2x2＋3.5，而球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5.∴h＝0.2.答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2 m.22．(10分)某品牌手机去年每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系：y＝－50x＋2 600，去年的月销量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中1～6月份的销售情况如下表：月份(x) 1月2月3月4月5月6月销售量(p) 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台(1)求p关于x的函数关系式；(2)求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？(3)今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6 400万元，求m 的值．解：(1)设p ＝kx ＋b.把p ＝3.9，x ＝1；p ＝4.0，x ＝2分别代入p ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3.9，2k ＋b ＝4.0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.8. ∴p ＝0.1x ＋3.8.(2)设该品牌手机在去年第x 个月的销售金额为w 万元．根据题意，得 w ＝(－50x ＋2 600)(0.1x ＋3.8)＝－5x 2＋70x ＋9 880＝－5(x －7)2＋10 125. 当x ＝7时，w 最大＝10 125.答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10 125万元． (3)当x ＝12时，y ＝2 000，p ＝5.1月份的售价为2 000(1－m%)元，则2月份的售价为[0.8×2 000(1－m%)]元； 1月份的销量为5(1－1.5m%)万台，则2月份的销量为[5(1－1.5m%)＋1.5]万台； ∴0.8×2 000(1－m%)×[5(1－1.5m%)＋1.5]＝6 400，整理，得3m 2－560m ＋10 000＝0. 解得m 1＝5003(舍去)，m 2＝20.∴m ＝20. 答：m 的值为20.23．(11分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y 轴相交于点C(0，4)，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 交于点E.(1)求抛物线的解析式和直线BC 的解析式； (2)当线段DE 长度最大时，求点D 的坐标；(3)在(2)的条件下，设点T(t ，0)是x 轴上的一个动点，当t 为何值时，△DOT 是等腰三角形，直接写出答案．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y 轴相交于点C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝4. ∴该抛物线的解析式为y ＝x 2－5x ＋4. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m. 将B(4，0)，C(0，4)代入， 求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. (2)∵点D 在抛物线y ＝x 2－5x ＋4上， ∴设点D 的坐标为(n ，n 2－5n ＋4)． ∵DE ∥y 轴，点E 在直线BC 上， ∴设点E 的坐标为(n ，－n ＋4)．∴DE ＝－n ＋4－(n 2－5n ＋4)＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4. ∵－1＜0，∴DE 有最大值，当n ＝2时，DE 取最大值为4，此时点D 的坐标为(2，－2)． (3)∵点D 的坐标为(2，－2)，∴OD ＝2 2. ①当OT ＝OD 时，t ＝±22；②当OT ＝DT 时，此时点T 在线段OD 的垂直平分线上，此时t ＝2； ③当OD ＝DT 时，t ＝4.综上所述，符合条件的t 的值有4个：22，－22，2或4.。