根据矩阵运算原理，二维图形变换矩阵T为3×3阶矩阵，三维 图形的变换矩阵T为4×4阶矩阵。
通过矩阵的乘法可以对图形进行诸如比例、对称、旋转、平移、 投影等各种变换。
图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T 。
二维图形的基本几何变换
二维图形几何变换主要有:
• 平移变换 • 比例变换 • 对称变换 • 旋转变换 • 错切变换 • 归纳 • 二维图形的复合变换
第二章 计算机图形学基础
本章 学习目标
• 掌握二维图形处理技术基础知识 • 了解三维图形变换方法 • 理解图形消隐技术和光照处理技术原理 • 学习二维裁剪技术
重点：二维图形几何变换
难点： 投影变换
学习内容
第一节 计算机图形学概述 第二节 图形的几何变换 第三节 图形裁剪技术 第四节 图形的消隐技术 第五节 图形的真实感
（4）图形编辑
如何对图形进行组合、分解、插入、裁剪等技术。
第二章 计算机图形学基础
三 计算机图形学的应用
（1）在机械设计中的应用
机械CAD/CAM
（a）工程图
（b）线框图 （c）实体图
第二章 计算机图形学基础
机械CAD/CAM
（2）科学计算可视化
广泛应用于医学、流体力学、有限元分析及气候分析中。
错切变换
错切变换是指空间立体沿x、y、z三个方向都产生错变形。
错切变形是画轴测图的基础，其变换矩阵为：
z
z
1 b c 0
Tsh＝
d h
1 i
f 1
0 0
x
0 0 0 1
x
变换后点坐标：
1 b c 0
x y z 1＝x y z 1 d 1 f 0
h i 1 0 x 0 0 0 1
＝ x dy hz bx y iz cx fy z 1
第二章 计算机图形学基础
机械CAD/CAM
虚拟现实（Virtual Reality
第二节 图形的几何变换
图形变换指对图形的几何信息经过几何变换后产生新 的图形，提出的构造或修改图形的方法。
除图形的位置变动外，可以将图形放大或缩小，或者对图形
作不同方向的拉伸来使其扭曲变形…
• 图形变换基本知识
• 二维图形基本几何变换
因此，三维空间里的点的变换可写为：
其中[M]是4X4阶变换矩阵，即：
四．投影变换
• 投影变换的基本概念
• 投影变换的分类：
投影的要素
• 包括投影对象、投影中心、投影平面、投影线和投影。 要作投影变换的物体称为投影对象；在三维空间中，选 择一个点，记这个点为投影中心；不经过这个点再定义 一个平面，记这个平面为投影平面；从投影中心向投影 平面引任意多条射线，记这些射线为投影线；穿过物体 的投影线与投影面相交，在投影面上形成物体的像，这 个像记为三维物体在二维投影面上的。
x x
3 4
y3 y4
1 1
采用齐次坐标表示的主要优点：
（1）为几何图形的二维、三维甚至高维空间的坐标变换提供 统一的矩阵运算方法，并可以方便地将它们组合在一起 进行组合变换。 平移、比例和旋转等变换的组合变换处理形式不统一， 将很难把它们联系在一起。
（2）无穷远点的处理比较方便。 如：对二维的齐次坐标 [A B H]，当H→0时，
d
q
l m s
实现图形透视 变换（常用于 三维图形）
实现图形 平移变换
实现图形比例变换： s>1，图形等比例缩小 0<s<1，图形等比例放大 s＝1，图形大小不变
二维图形的复合变换：
CAD/CAM中的图形变换比较复杂，往往仅用一种基 本变换不能实现，需经由两种或多种基本变换的组合才 能得所需的最终图形。这种由两个以上基本变换构成的 变换称为复合变换（组合变换）或基本变换的级联
齐次坐标系中，附加的坐标H称为比例因子
Hx＝H×x、Hy＝H×y、Hz＝H×z H的取值是任意的，任何一个点可用许多组齐次坐标来表示。
如：二维点 [3 2]可表示为[3 2 1] ， [6 4 2] …
当取H＝1时，称为齐次坐标的规格化形式。
四边形用齐次坐标可表示：
x1 y1 1 x 2 y2 1
第一节 计算机图形学概述 一、计算机图形技术的基本概念
定义：研究通过计算机将数据转换为图形，并在专门的显示设 备上显示的原理、方法和技术的学科。
图形的种类：
图形（矢量图形 ） 图像 图形与图像的区别
二、计算机图形学的研究内容
图形——采用参数法描述的图形（矢量图形） 形状参数 ： 描述图形的方程系数，线段或多边
• 矢量图形可以容易缩放而不影响图形的输出质量
• 图像
• 放大前
放
大后
• 图形
二、计算机图形学的研究内容
(1)图形的输入
研究如何把需要处理的图形输入计算机，以便让计算 机进行各种处理。
（2）图形的生成、显示、输出
如何在计算机上生成图形，在打印机、绘图机上输出图形。
（3）图形的变换
如何对计算机图形进行几何变换、色彩灰度变换等。
则坐标点的比例变换：
(1) a = e = 1时，为恒等比例变换，即图形不变 (2) a = e ＞1时，图形沿两个坐标轴方向等比放大 (3) a = e ＜1时，图形沿两个坐标轴方向等比缩小 (4) a≠e时，图形沿两个坐标轴方向进行非等比变换，称为畸变
对称变换
对称变换也称反射变换， 指变换前后的点对称于x轴、y 轴、某一直线或点
相对于 (e, f ) 点作旋 转变换，由以下三个矩 阵相乘来实现：
复合变换例2：
图形对于任一条线 y=ax+b 对称的组合变换矩 阵
基本步骤：
（1）平移 （2）旋转 （3）对称 （4）旋转 （5）平移
三维图形几何变换
三维图形的几何变换是二维图形几何变换的简单扩展。 与二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图形进行各 种几何变换。
d>0，图形沿 +y 方向错切； d<0，图形沿 –y 方向错切
二维图形基本变换小结：
从二维图形的基本几何变换可见，各种图形变换完全取决于变换 矩阵中各元素的取值
按照变换矩阵中各元素的功能，可将二维变换矩阵的一般表达式 按如下虚线分为4个子矩阵：
实现图形比例、
对称、错切、 旋转变换
a b p
T ＝ c
(1)以x轴为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x坐标值不变， y坐标值不变，符号相反
矩阵形式
（2）以Y轴为对称线的对称变换
变换后，图形点集的y坐 标值不变，x坐标值不变， 符号相反
矩阵形式
（3） 以原点为对称的对称变换 变换后，图形点集的x和y坐标值不变，符号均相反
矩阵形式
(4)以直线y=x为对称线的对称变换
X’=XCOSθ-YSINθ
Y’=YCOSθ+XSINθ
规定： 逆时针方向为正， 顺时针方向为负。
错切变换
错切变换是图形的每一个点 在某一方向上坐标保持不变， 而另一坐标方向上坐标进行线 性变换，或都进行线性变换 有x和y方向的错切变换
1. 图形沿x方向的错切矩阵表示为：
图形的 y 坐标不变，x 坐标随坐标（x y）和系数 b 作线性变化， b≠0
变换后，图形点集的x和y坐标对调
矩阵形式
(5)以直线y=－x为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标对调，符号相反 矩阵形式
旋转变换
旋转变换是将图形绕 固定点顺时针或逆时 针方向进行旋转
图形绕原点沿逆时针方 向旋转θ角，变换后的点 （x* , y*）的数学表达 式:
绕原点逆时针旋转θ角的数 学表达式为：
b>0，图形沿+x方向错切； b<0，图形沿-x方向错切
错切变换
错切变换是图形的每一个点在 某一方向上坐标保持不变，而另 一坐标方向上坐标进行线性变换， 或都进行线性变换。
有x和y方向的错切变换
2. 图形沿y方向的错切矩阵表示为：
1 d 0 0 1 0 0 0 1
图形的 x 坐标不变，y 坐标随坐标（x y）和系数 d 作线性变化， d≠0
三角形的三个顶点坐标 a( x1, y1 ), b( x2, y2 ), c( x3, y3 )， 用矩阵表示：
1．构成图形的基本要素及其表示方法
三维形体矩阵表示形式为：
x1 y1 z1
x2
y2
z2
M M M
xn
yn
zn n3
2.点和图形的齐次坐标表示
齐次坐标是将一个n维空间的点用n＋1维表示，即附加一个坐标表 示二维点[x y]的齐次坐标通常用三维坐标[Hx Hy H]表示 三维点[x y z]的齐次坐标通常用四维坐标[ Hx Hy Hz H ]表示
x
沿x含y错切 y
z
x
沿x含z错切 y
z
沿y含x错切
z
y x
沿y含z错切 y
z
沿z含x错切
y
沿z含y错切 y
三维错切变换
沿X轴含Y向错切
沿X轴含Y向错切变换矩阵为：
错切变换为： 即 x’=x+dy y’=y z’=z
三维图形基本变换总结：
对三维空间的点如（x，y，z），可用齐次坐标表示为： （x，y，z，1），或（X，Y，Z，H）
设各次变换的矩阵分别为T1 ，T2 ，…… ，Tn，则复合
变换的矩阵是各次变换矩阵的乘积，即：
T＝T1 •T2 …… • Tn
组合变换中，多个变换矩阵之积称为组合变换矩阵
先旋转后平移
先平移后旋转
复合变换例1：
求三角形以点（4, 6）为中心逆时针旋转30°的组合变换矩阵
基本步骤：
（1）平移 （2）旋转 （3）平移