第一节 二阶与三阶行列式(1)1sin cos cos sin sin cos 22=+=-x x xx x x(2)0 223322=+-+--=--x a x a a a x a x a xa a x a a aa a【思考题】求一个二次多项式()c bx ax x f ++=2，使得()()().2833201 =-==f f f ，， 解 根据题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++==++=2839)3(324)2(0)1(c b a f c b a f c b a f上式可看做是以a,b,c 为未知量的线性方程组，其系数行列式20 139124111 ≠-=-=D故方程组有唯一解。

由401328123110 1-=-=D ，601289134101 2==D202839324011 3-=-=D得1 ,3 ,2321==-====DD c D D b D D a于是，所求的多项式为().1322+-=x x x f第二节 全排列及其逆序数1. 计算排列的逆序数，并判断奇偶性 (1) 1 3 4 2 6 5 ； (2) 2 4 … (2n)(2n-1) (2n-3) (1)解 (1)逆序数t = 0 + 0 + 0 + 2 + 0+ 1 = 3该排列为奇排列。

(2) 逆序数t = 0 + 0 + … + 0 + 1 + 3 + … + (2n-1) = n 2当n 为奇数时，该排列为奇排列；当n 为偶数时，该排列为偶排列。

【思考题】分别用两种方法求排列 16352487 的逆序数解 方法一：求出每个元素的逆序数（即每个元素左边比它小的数的个数）, 并相加，得t = 0+0+1+1+3+2+0+1 = 8 方法二：求出每个元素右边比它小的数的个数，并相加，得t = 0+4+1+2+0+0+0+1 = 8第三节 对换1. 以下变换需要经过多少次相邻对换才能实现？(1) 将 n 元排列 a 1, a 2, …, a n 左右翻转得 a n , …, a 2, a 1;(2) 将 k+m 元排列 a 1, a 2, …, a k ;b 1, b 2, …, b m 的左右两部分交换，得 b 1, b 2, …, b m ; a 1, a 2, …, a k . 解 (1) 从a 1, a 2, …, a n 开始，将最左边的元素依次移到a n 的右侧，即a 1, a 2, a 3, …, a n-1, a n−−−−−→−-次相邻对换1n a 2, a 3, …, a n-1, a n ；a 1−−−−−−→−-次相邻对换2n a 3, …, a n-1, a n ；MM M M M M 562431MM M M M M ΛΛ1)32()12()2(42--n n na 2, a 1→ Λ a n-1, a n ；a n-2,…,a 3, a 2, a 1 −−−−−→−次相邻对换1 a n , a n-1, …, a 3, a 2, a 1 所做的相邻对换的次数为：(n-1)+ (n-2)+…+1=2)1(-n n (2) 从a 1, a 2, …, a k ; b 1, b 2, …, b m 开始，将b 1, b 2, …, b m 依次移到a 1的左侧，即a 1, a 2, …, a k ;b 1, b 2, …, b m −−−−−→−次相邻对换k b 1； a 1, a 2, …, a k ; b 2, …, b m−−−−−→−次相邻对换k b 1,b 2,； a 1, a 2, …, a k ; b 3, …, b m→ Λ b 1,…, b m-1； a 1,a 2, …, a k ;b m−−−−−→−次相邻对换k b 1, b 2, …, b m ；a 1, a 2, …, a k .所做的相邻对换的次数为：km2. 不计算逆序数，判断排列 216345 的奇偶性. [分析] 对216345，将1,2做一次对换，再将6依此与右边的3,4,5做三次对换，可得标准排列123456，对换次数为偶数次. 解 从216345开始，经偶数次的对换可得标准排列123456，故216345是偶排列.【思考题】 证明：在全部n 元排列中 (n ≥ 2)，奇偶排列各占一半.证 设在全部n 元排列中有s 个奇排列，t 个偶排列. 对s 个不同的奇排列，将前两个数对换，则变成s 个偶排列 (一次对换改变排列的奇偶性)，并且它们彼此不同 (否则，再次对换前两个数变回原来的奇排列，其中会出现相同的奇排列，矛盾)，于是s ≤ t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①同理， t 个不同的偶排列，将前两个数对换，则变成t 个不同的奇排列，于是t ≤ s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ② 综合①②两式，有 s = t.第四节 n 阶行列式 1. 写出六阶行列式中含因子56423123a a a a 的项 [分析] 六阶行列式的每一项都含有不同行、不同列的六个数的乘积。

设含有因子a 23a 31a 42a 56的项为(-1)t a 1i a 23a 31a 42a 56a 6j (行标排列采取标准次序排列，t 是列标排列的逆序数)，显然列标i 和j 是4,5的某个排列，有两种可能性。

当ij = 45时，列标排列的逆序数为t(431265)=6，是偶排列，符号项取“+”。

当ij = 54时，列标排列的逆序数为t(531264)=7，是奇排列，符号项取“-”。

解 所求的项分别为+a 14a 23a 31a 42a 56a 65 和-a 15a 23a 31a 42a 56a 64公式进行计算11,212)1(1,121,21)1(n n n n n nnn n n nn na a a a a a a a a ΛΛM M N -----=(2) 根据定义，行列式算式 (4!项的代数和) 的一般项可表示为如果乘积中的任一元素为零，则乘积为零，对代数和没有贡献，可不予考虑，此时，各行元素的列标取值如下：q 1=3，q 2=2，q 3=1，q 4=4即，在行列式的4！项中，只有(-1)t(3214)a 13a 22a 31a 44这一项不等于零。

(3) 不考虑各行元素中的零，各行元素的列标如下：q 1: 2q 2: 1, 2, 3, 4 q 3: 2 q 4: 2上面的这些数值无法使q 1q 2q 3q 4组成任何一个4元排列 (因为其中的q 1, q 3, q 4只能取2). 也就是说，在该行列式的任一项中，不可能使相乘的4个元素中不含零，故行列式的值等于零.解 (1) 244321)1( 4444333022001000 2)14(4=⨯⨯⨯⨯-=-(2)244321)1(4321)1( 4000000300200100 3)3214(-=⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-=t(3) 从不同行、不同列取4个元素相乘，其中必然有0，因此该行列式所有的项都为零，故040003043210010 =0系数，需要从行列式的不同行、不同列取4个元素相乘，并且其中1个元素为常数，另外3个元素含有x 。

满足上述要求的取法有2种。

解 记行列式为det(a ij )，则其中含有x 3的项为()()()43342211124344332211)1234(11a a a a a a a a t t -+- =()()3130211x x ⋅-+- 3x -=第五节 行列式的性质[分析] 利用行列式的性质（主要是对换、提取公因子、倍加这三种运算），将行列式化为三角行列式，再利用三角行列式的公式即可计算出行列式的值。

本题中(2)是三对角行列式；(3)是43212221)1(q q q q t a a a a -三对角行列式的变形；(4)是爪形行列式的变形；(5)的特点是各行(列)元素之和都相同。

在计算行列式的值时，先注意观察行列式的特点，并采取比较简洁的化简步骤。

解 (1)1111024112112440 -1111024124401211 21--↔r r [通过对换两行，使(1,1)元变成非零的数]2320145024401211 1413--++r r r r [将主对角线以下第一列元素化成了0]23214501010121132----r r [改变了(2,2)元，避免后面出现分数运算]4300640010101211252423---++r r r r [将主对角线以下的第二列元素化成了0]43021001010121143----r r2000210010101211334-----r r [将主对角线以下的第三列元素化成了0]= -(-1)⨯(-1)⨯1⨯(-2) = 2(2)21121121122112112/30122112r r -2113/4012/30123223r r -4/5013/4012/30124334r r - =2⨯(3/2)⨯(4/3)⨯(5/4) = 5(3)212121123401101231254)4,3,2(21--=--i c c i i23111)23()1(2)34(4-=⨯⨯⨯-⨯-=-⨯(4)43211213144322810110)4,3,2(1-=-i ic c i28)28(111)1(2)34(4-=-⨯⨯⨯⨯-=-⨯(5)31111311113111133111131111316666321∑=+i i r r31111311113111116⨯对第一行提取公因子4820000200002011116)4,3,2(1=⨯=-i r r i下：B A B OA B O A B O O A ⋅===**B A BAOO B A O B A O km ⋅-===)1(**注意，其中的A ，B 分别是k 行k 列和m 行m 列的“正方形”数字表格；O 代表该矩形区域中(不一定是正方形)的元素全为0；*代表该矩形区域中的元素可任意取值而不会影响行列式的值。

解(1) 40000003002001004 003020100 ⨯=46⨯-= =-24(2)311311004202130-3110420213)1(13⨯-⨯-=⨯311423)1(13⨯-⨯⨯-=⨯= -54[分析] 行列式的特点是：任意两列(行)的第一子列(行)相同、任意两列的第二子列(行)成比例.解 行列式按列拆分，得24=16个行列式之和，其中每个行列式都至少有两列相同或成比例，故D=0. [分析] 将1写成1+0的形式，43211010101011010101011010101011x x x x ++++++++++++++++进一步可拆分为16个行列式之和，其中只有5个行列式可能不等于0，即，全取第2子列(1种可能)；或者有一列取第1子列而其余列取第2子列(4种可能). 剩下的11个行列式都至少有两列取了第1子列(此时行列式中有两列完全相同)，从而等于0.解43211111111111111111x x x x ++++=43211010101011010101011010101011x x x x ++++++++++++++++=4321x x x x +4321111x x x +4311111x x x+4211111x x x +1111321x x x= x 1x 2 x 3 x 4 +x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 4 +x 1 x 2 x 3【思考题】设n 阶行列式D=det(aij)，(1) 将D 左右(或上下)翻转，记作D 1；(2) 将D 逆时针(或顺时针)旋转90o ，记作D 2；(3) 将D 依副对角线翻转(记作D 3)求D 1, D 2, D 3与D 的关系.解 (1) 行列式D 的左右翻转可通过如下方式实现：将D 的第n 列不断地与左边相邻的列交换位置，直至其变为第1列（共进行了n-1次列的交换）；然后将所得行列式的第n 列（即原行列式中的第n-1列）不断地与左边相邻的列交换位置，直至其变为第2列（共进行了n-2次列的交换）；…，按这种方式进行下去，直到原行列式的第2列成为最后一列，此时只需再将该列与左边相邻的列进行一次交换，即可得到原行列式的左右翻转形式D 1。