？？大学 2008-2009 学年第一学期
2008级电子类、物理类专业 本 科 卷 B 参考答案与评分标准
课程名称 《高等数学》E1
课程号（ ） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟））
一、填空题：本题共5小题，每题3分，满分15分。
1、0()f x '； 2
、
2； 3、32； 4
、12x e x x +++； 5、233
3sin(1)x x +。
二、单项选择题：本题共5小题，每空3分，满分15分。
1、C ；
2、B ；
3、C ；
4、B ；
5、C 。
三、计算题：本题共10小题，满分60分。
1、(6分) 求()
401cos 1cos 2lim
x x x
→--。
解：原式＝2
12
4
0(1cos 2)lim x x x →- ------------------（2分）
2
2
1cos 28lim(
)(2)
x x x →-= ------------------（2分） 2
18()22
==。
------------------（2分）
2、(6分) 设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，求)0(f '。
解：原式0
()(0)
lim
x f x f x →-=- ------------------（3分）
lim(1)(2)
(100)x x x x →=---
100(1)100!100!=-= ------------------（3分）
3、(6分) 已知函数()y y x =由方程y
e xy e +=所确定，求)0(y '。
解：两边对x 求导，0y e y y xy ''++= ------------------（3分）
由题设知(0)1y =，于是01
01
1
x y
y x y y y e
x e ===='=-
=-+。
------------------（3分）
4、(6分) 22x
y x e =， 求dy 。
解：dy y dx '= ------------------（2分）
222(22)x x xe x e dx =+。
------------------（4分）
5、(6分)
求。
解
：原式=
------------------（3分）
C =。
------------------（3分） 6、(6分) 求1ln d e
e x x ⎰。
解：原式11
1
ln ln e
e
xdx xdx =-+
⎰
⎰
------------------（3分）
[][]11
12
ln ln 2e
e
x x x x x x e
=-++-=-。
------------------（3分） 7、(6分)
求
3
43 4(1arctan x ππ-+⎰
解
：原式33
4433 44arctan x ππππ--=
+⎰
⎰
------------------（1分）
3
43 4
ππ-=
⎰
2=⎰
------------------（4分）
3
4 0|cos |x dx π=
3
4
2 0
2
cos (cos )2xdx x dx ππ
π=+-=。
------------------（1分）
8、(6分) 求函数023()d 1
x
t
f x t t t =⎰-+在区间[0,1]上的最大值与最小值。
解：2
3(),()0,0,(0,1)1
x
f x f x x x x ''=
==-+令得即在内无驻点；------------------（2分）
21
11
220033(1)3(0)0,(1)2211t d t t f f dt t t t t -+===+-+-+⎰⎰⎰
1203ln(1)23t t =-++=； ------------------（2分）
于是，最小值(0)0f =
，最大值(1)f =。
------------------（2分） 9、(6分) 求位于曲线x
y e =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积。
解：x
y e '=；设切点坐标为0
0(,)x x e
，则00
x x x y e ='=，切线方程为000()x y y e x x -=-；
------------------（3分）
切线过原点(0,0)，代入切线方程得01x =，于是所求面积为
1
12222
x x e e e e
A e dx e e -∞-∞
=-
=-=-=⎰（见下图）。
------------------（3分）
10、(6分) 设()2
1cos
,00
,0x x g x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，()0x x ϕ=在处可导，()()()F x g x ϕ=，求()0F ' 解：()()()()21cos ,0
0,0x x x F x g x x ϕϕϕ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪=⎩，则 ------------------（3分）
()()()
()
()20001cos 0011
0lim lim cos 0lim cos 010
cos
x x x x F x F x
F x x x x x
x x x
ϕϕϕ→→→⎛
⎫
- ⎪-⎝
⎭''==⋅=⋅=-⋅。
------------------（3分）
四、综合题：本题共2小题，每题5分，满分10分。
1、(5分) 证明不等式221ln(1)1,(0)x x x x x +++>+>。
证明：设22()1ln(1)1,f x x x x x =+++-+(0)x ≥ 因为2
2
2
()ln(1)11f x x x x
x
'=+++
-
++
2ln(1)x x =++ln10>=(0)x > ------------------（2分）
故()f x 在[0, )+∞上单调增加，而 (0)0f =； ------------------（1分） 因此
()(0)0,f x f >=(0, )x ∈+∞；
即221ln(1)1,(0)x x x x x +++>+>。
------------------（2分） 2、(5分) 一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉入水中，顶在上，底在下，底与水平
面平行，顶距水面3厘米，求每面所受的压力。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系，则直线AB 的方程为2
(3)3
y x =
-，
取x 为积分变量，则[3,9]x ∈； ------------------（1分）
(2) 求微元：[3,9]x ∀∈且[,][3,9]x x dx +∈，窄条[,]x x dx +上所受的压强为p gx ρ=，窄条
[,]x x dx +的面积A ∆用对应矩形的面积dA 近似代替, 得到
24
2(3)(3)33
dA x dx x dx =⋅-=-
所以的水压力元素为4
(3)3
dP pA gx
x dx ρ==-；------------------（2分）
(3) 求定积分：每面所受的压力为
934
(3) 1.65()3
P gx x dx N ρ=-=⎰。
------------------（2分）。