2007年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第在象限D．第四象限2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，则集合∁u A 等于（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{1，5}D．{5}Z3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=04．（5分）已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．5．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=2，S30=14，则S40等于（）A．80 B．30 C．26 D．166．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B． C．a D．b8．（5分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；③若f（x）=log2x，则f（|x|）是偶函数．其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③10．（5分）已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）12．（5分）设集合S={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“⊕”为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x ⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）=．14．（4分）已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为．15．（4分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．16．（4分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．（1）求实数m的值；（2）求f（x）的最小正周期．18．（12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．20．（12分）设函数f（x）=，其中a为实数．（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调减区间．21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．22．（12分）已知各项全不为零的数列{a k}的前k项和为S k，且S k=N*），其中a1=1．（Ⅰ）求数列{a k}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b k}满足（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+b n．2007年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•陕西）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第在象限D．第四象限【分析】本题考查的是复数的计算．【解答】解：Z=，故选D．2．（5分）（2007•陕西）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，则集合∁u A等于（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{1，5}D．{5}Z【分析】由题意U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，解出集合A，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，∴A={2，3，4}，∴C u A={1，5}，故选C．3．（5分）（2007•陕西）抛物线y=x2的准线方程是（）A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=0【分析】根据抛物线的方程，可求得q，进而根据抛物线的性质可知其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2，P=，准线方程为y=，即4y+1=0故选A．4．（5分）（2007•陕西）已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．【解答】解：sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故选B．5．（5分）（2007•陕西）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=2，S30=14，则S40等于（）A．80 B．30 C．26 D．16【分析】先由等比数列的前n项和公式列方程组解得q10，然后分别求出q40、，最后再次运用等比数列的前n项和公式求S40．【解答】解：由题意知等比数列{a n}的公比q＞0，且q≠1，则有，得1+q10+q20=7，即q20+q10﹣6=0，解得q10=2，则q40=16，且代入①得=﹣2，所以=﹣2×（1﹣16）=30．故选B．6．（5分）（2007•陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选C．7．（5分）（2007•陕西）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B． C．a D．b【分析】由于双曲线的焦点在x轴上，所以其右焦点坐标为（c，0），渐近线方程为y=±x，则满足要求的圆的半径为右焦点到渐近线的距离，因此只需根据点到线的距离公式求之即可．【解答】解：由题意知，圆的半径是右焦点（c，0）到其中一条渐近线的距离，所以R=．故选D．8．（5分）（2007•陕西）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x﹣a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【解答】解：函数f（x﹣1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f﹣1（x﹣1）由f﹣1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称，从而f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x﹣1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除；故选A．9．（5分）（2007•陕西）给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；③若f（x）=log2x，则f（|x|）是偶函数．其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③【分析】①可取特殊值验证②a、b异号时，一定为负③由奇偶性定义判断．【解答】解：①ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；②a、b异号时不正确．③f（|x|）=f（x）=f（﹣x）成立．故选B．10．（5分）（2007•陕西）已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于或等于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故选D．11．（5分）（2007•陕西）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．12．（5分）（2007•陕西）设集合S={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“⊕”为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题为信息题，学生要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法【解答】解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0当x=A4时，（x⊕x）⊕A2=（A4⊕A4）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A1当x=A5时，（x⊕x）⊕A2=（A5⊕A5）⊕A2=A2⊕A2=A0则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：3个．故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•陕西）=．【分析】先把通分，再消除零因子后简化为，由此能够求出的值．【解答】解：，故答案为．14．（4分）（2007•陕西）已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为8．【分析】先由不等式组画出可行域，再把z=x+2y变形为，只需平移直线，即可发现当直线经过点A时z取得最大值．【解答】解：画出可行域△ABC，直线z=x+2y变形为，可见当直线经过点A时z取得最大．解得A（2，3），所以zmax=2+2×3=8．故答案为8．15．（4分）（2007•陕西）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为6．【分析】过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，然后将向量用向量与向量表示出即可．【解答】解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，由=||=1，||=得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6．故答案为6．16．（4分）（2007•陕西）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种．（用数字作答）【分析】安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，分成两类解决，一类去三所学校，每校一人；另一类去两所学校，一校一人，一校两人．【解答】解：分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•陕西）设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．（1）求实数m的值；（2）求f（x）的最小正周期．【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算及三角函数的周期及其求法，（1）由=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），我们易出求f（x）=•的解析式（含参数m），同由y=f（x）的图象经过点，将点的坐标代入可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．（2）由（1）的结论，我们可以写出函数f（x）的解析式，利用辅助角公式易将其转化为一个正弦型函数，然后根据正弦型函数的周期T=，求出f（x）的最小正周期．【解答】解：（1）f（x）=•=m（1+sin2x）+cos2x，∵图象经过点，∴，解得m=1．（2）当m=1时，，∴18．（12分）（2007•陕西）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i﹣1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A i（i=1，2，3），则，，．∴该选手被淘汰的概率===．（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.，=，P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=．∴ξ的分布列为ξ123P∴=．19．（12分）（2007•陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．【分析】（Ⅰ）要证BD⊥平面PAC，只需证明BD垂直平面PAC内的两条相交直线PA，AC即可．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，说明∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角，推出Rt△EFC∽Rt△PAC，通过解Rt△EFD，求二面角A﹣PC﹣D的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．又∠DAC=90°﹣∠BAC=30°，∴DE=ADsinDAC=1，，又，∴，PC=8．由Rt△EFC∽Rt△PAC得．在Rt△EFD中，，∴．∴二面角A﹣PC﹣D的大小为．20．（12分）（2007•陕西）设函数f（x）=，其中a为实数．（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调减区间．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，说明分母不为零，利用判别式直接求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）的定义域为R时，求导数，导数为0确定x的值，根据a的范围，确定导数的符合，求f（x）的单减区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，∴x2+ax+a≠0恒成立，∴△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．（Ⅱ）由题意可知：，令f'（x）≤0，得x（x+a﹣2）≤0．由f'（x）=0，得x=0或x=2﹣a，又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f'（x）＜0得0＜x＜2﹣a；当a=2时，f'（x）≥0；当2＜a＜4时，由f'（x）＜0得2﹣a＜x＜0，即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2﹣a）；当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2﹣a，0）．21．（14分）（2007•陕西）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB 与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．22．（12分）（2007•陕西）已知各项全不为零的数列{a k}的前k项和为S k，且S k=N*），其中a1=1．（Ⅰ）求数列{a k}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b k}满足（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+b n．【分析】（Ⅰ）由，得a k（a k+1﹣a k﹣1）=2a k．再﹣a k﹣1=2．知a2m﹣1=1+（m﹣1）•2=2m﹣1．a2m=2+（m﹣1）•2=2m，m∈由a k+1N*．由此可知a k=k（k∈N*）．（Ⅱ）由题意知=．由此可求出b1+b2+b3+…+b n的值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1，由及a1=1，得a2=2．当k≥2时，由，得a k（a k+1﹣a k﹣1）=2a k．因为a k≠0，所以a k+1﹣a k﹣1=2．=1+（m﹣1）•2=2m﹣1．从而a2m﹣1a2m=2+（m﹣1）•2=2m，m∈N*．故a k=k（k∈N*）．（Ⅱ）因为a k=k，所以．所以=．故b1+b2+b3+…+b n==．。