无阻尼自由振动计算题(单位：kg、N = kg・m/s2、Pa = N/m2、)无阻尼自由振动运动方程：u(t) = u(0) cos w n t +丝^sinw湛；w n刚度k = F/* (kN/m)；自振圆频率3〃= £ = (rad/s)；无阻尼体系简谐荷载反应：其中频率比P = 0/w n；17(0) P o /? 1 P o 1u0)=状0)cos w n t + - sin啪 + 9t稳态反应等效静位移四=Po/k = P0/mw n2；稳态反应振幅I/。
= u st R d = y—K I1-P I阻尼c = 2mw n^ (kN * s/m)；阻尼比(=—=—— = 有阻尼圆频率c cr 2mw n 2nn ut+nW D = w n y/l-^2；有阻尼自振周期T D=L/房寻有阻尼体系动力方法系数R d= — = u st1/J[1一供]2 + [2〈仞2；拉格朗日方程计算题lagrange方程：，(茶J 一 *" += Q)；其中Q)为非有势力对应于广义坐标0/的广义力平面运动刚体的动能T = |mv c2+|/c w2,随质心平移的动能和绕质心转动的动能之和。
细直杆绕质心的转动惯量：J c—,对喘部：J z=■ ^mZ2；圆盘对其质心的转JL£O动惯量：]0— ^mr2o振型叠加法计算题(第一类型)频率方程:\[K] - a)2[M]| = 0得自振频率s由特征方程:([K] - 口2[的)｛勿=0；设｛飕)=1,得到｛破)和｛泌。
已知条件 1:切}i = [o.644，、{必2 = {-0.601，、切}3={-2.57＞、[M]= (0.311.52.可得振型质量:M n =同理可知M 2 = 2.456, M3 = 23.109。
1.5 ) 加已知条件 2： m (0)} = {2.5 }m,位(0)} = {2.25 m/s4.50)-0.6762.47可知 Mi = {0}7[M]{0h = (1 0.644 0.3)1 ・1.5 .2.。
:44"。
2, 0.3 J13.75J 可得振兴坐标表示的初始条件:(1 0.644 0.3)小、{^}i[M]u(0)Qi(0)=1 ・1.5. 2. 1.25 2.5 3.755.915 =3.2825 1.80202(°)=ri(1.25) (1 -0.601 -0.676)1.52.5■2. (3.75)-6.07375 2.456何片网成。
)03(0)=ri (1.25)(1 -2.570 2.470)1.52.52. (3.75)__ 10.1375M 3 =0.43868ri (1.5)(1 0.644 0.3)1.52.252 JU.50)Mi =3.53696.3735 1.8021.25Mi1.8022.456M 2 =-2.47323.10923.1091.802・小、何片网讥。
)91(0)==0.65153由初始条件引起各广义坐标的自由振动q?(t) = Q n (0) cosw n t + ^-^sin w n 结构自由振动反应方程｛u°(t)) = Y 切Lq?(t)=切｝iq?(t) +切｝20珀)+(p3q30t弯曲梁计算题弯矩与曲率关系：M = -£7*^=-£7/；剪力Q = * 等截面梁自由振动偏微分方程：m 空笋+引竺"=0,分成两个方程 d z t d^x 1) 单自由度体系无阻尼自由振动不。
)+ o )2q(t) = 0得解：随时间变化振幅：q(t) = q 处(0) cos wt +迎^sin 切w2) 振动形状方程：拭”3)-。
403)= 0,其中mu )2 = a 4EI ；得解：振动形状通解(边界条件)：位移：(p(x) = Asinax + Bcosax + Csinhax + Dcoshax 斜率：0‘(x) = a(bcosax — Bsinax + Ccoshax + Osinhax)弯矩：(p H (x) = a 2 (—bsinax — Bcosax + Csinhax + Dcoshax) 剪力：＜p" (x) = a 3 (—bcosax +Bsinax + Ccoshax + £)s inh ax) 悬臂端集中质量边界条件:一端固定，一端自由其边界条件可表示为:1在x = 0处，位移和转角为零0(0) = 0； 0‘(0) = 0；在x = L 处，弯矩：(p H(L) = 0；剪力：El (p ，n(L) = -Ma )2(/)(L)；S(o)=倒网讥。
)M2ri (1.5)(1 -0.601 -0.676)1.52.252 J U.50)S(0)=-6.612375 ""2.456-=-2.6923｛以网讯0)(1 -2.570 2.470)11.52」U.50)M 3 23.10915.05625 23.109mud 2t1=1a —2.456代入在x = 0处的边界条件可得B + D = O；Q(，+C)=O；即B = -D； A=-C；利用(p" (A) = 0可得9" (L) = a2(—i4sinaL —BcosaL + CsinhaL + DcoshaL) = 0 所以有：/(sinaL + sinhaL) +B(cosaL + cosha，)= 0 ；利用剪力：EI Q ' (L) = —Ma)2(p(L),得到EIa3(—AcosaL + BsinaL + CcoshaL +Z^s inh aZ士以n2 /s in aL +Bcos aL+Cs inh aL士庆osh aL=0£7Q3(_/(COSQ L + coshaL) + B (sinaL— sinhaL))+ Ma)2(A(sinaL — sinhaL) + B(cosaL— coshaL)) = 0刀[—£7Q3(COSQ L + coshoL) + M32(sinaL — sinhoL)]+ 8[£7尸6赢七—sinhaL) + M3? (COSQ L — coshoL)] = 0使A,B不同时为零的条件时联立方程组系数行列式为零sinaL + sinhaL cosaL + coshaL —EIa3(cosaL + coshaL) + Ma>2 (sinaL — sinhaL) Ela3 (sinaL — sinhaL) + Mo)2(cc.\f _ 10 m k chki sin 以一.、加7cos kl \E/a3 ((sinaL)2— (sinhaL)2) + Mo)2 (cosaL — coshaL)(sinaL + sinhaL)+£7Q3((COSQ L)2 + (coshaL)2 + 2 cos aL cosh aL)—Ma)2(sinaL — sinhaL) (cosaL + coshaL) = 0EZa3 [(sinaL)2 + (cosaL)2 + (coshaL)2— (sinhaL)2 + 2 cos aL cosh aL]+ Ma)2 [(cosaL — coshaL)(sinaL + sinhaL)—(sinaL — sinhaL) (cosaL + coshaL)] = 02£7Q3(I + cos aL cosh aL) + 2Ma)2 (cosaL ・ sinhaL — sinaL - coshaL) = 0 , 因为mu)2 = a4 Eh所求频率方程：m(l + cos aL cosh aL) + Ma^cosaL - sinhaL - sinaL -cosha£=0注意:sinh(O) = 0,cosh(0) = 1 ； cosh2t — sinh2 t = 1 ； (cosh*)' = sinhx ； (sinh *)' = coshx2、端部弹性支撑边界条件:(p n (L) = 0 ＞剪力：El(p‘"(L) = k(p(L)；/(sin。
％+ sinhaL) + B(cosaL + cosh 以)=0；EIa3(—AcosaL + BsinaL + CcoshaL + Ds inhaL)= k^AsinaL + BcosaL + CsinhaL + DcoshaL)刀〔—£7Q3(COSQ L + cosh 以)—k(sinaL— sinh。
%)]+ 研£7Q3(sinaL — sinh。
%) —k(cosaL— cosh。
%)] = 0sinaL + sinhaL (cosaL + coshaL) —£7Q3(COSQ L + coshaL) —k (sinaL— sinhaL) El a3 (sinaL — sinhaL) —k^cosaL —=0(sinaL + sinhaL) [El a3 (sinaL — sinhaL) — k(cosaL — coshaL)]—(cosaL + coshaL) [—Ela3 {cosaL + coshaL) — k (sinaL — sinhaL)]=0[EZa3(sin2aL — sinh2 aL) — k^sinaL + sinhaL^cosaL — coshaL)]—[—EIc^^cosaL + coshaL)2— k^cosaL + co shaL) {sinaL — sinhaL')]=0El a3 (sin2 aL — sinh2 aL) + EIa3(cosaL + coshaL)2—k (sinaL + sinhaL) (cosaL — coshaL)+ k^cosaL + coshaL) (sinaL — sinhaL') = 0Elc^^sin2 aL — sinh2 aL +cos2 aL + cosh2 aL + 2 cos aL coshaL)+ k (sinaL + sinhaL) ^coshaL — cosaL)+ k^cosaL + coshaL) (sinaL — sinhaL) = 02£7Q3(I +1 cos aL coshaL) + 2k{sinaLcoshaL — cosaLsinhaL) = 0可矢口：£7Q3(I + cos aL cosh aL) + fc(sinaLcoshaL — cosaLsinhaL) = 03、端部弹性支撑，固定集中质量M边界条件:(p n (L) = 0、剪力：El0〃'O = k(p(L) -。