《九章古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABCA1B1C1 中，AC⊥BC.
《九章算术》
(2)∵ A1A＝ AB＝ 2. 由 (1)知阳马 BA1ACC1 的体积 1 V＝ S 矩形 A ACC · BC 3
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1 ＝ × A1A× AC× BC 3 2 1 ＝ AC× BC≤ (AC2＋ BC2) 3 3 1 4 2 ＝ × AB ＝ . 3 3 当且仅当 AC＝ BC＝ 2时， 4 Vmax＝ ，此时 3
立体几何之鳖臑
《九章算术》
教学目标 1、认知立体几何中的一类特殊几何体 2、能掌握该几何体的有关性质 3、能用该几何体的相关性质解题
《九章算术》
若把“原本”比“算术”，此中翘楚是《九章》 ．这是对代表 东方数学最高成就的巨著《九章算术》的赞誉． 《九章算术》 是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶，是中华文化和中华文明 传承的经典之作，尊为古代数学群经之首． 《九章算术》所创 立的机械算法体系显示出比欧几里得几何学更高的水准．并 将其扩展到其他领域，其算法体系至今仍推动着计算机的发 展与应用．
《九章算术》
为更好的传承这一举世无双的经典之魁．宏扬中华传统文化 和中华文明，近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》 中选取与当今高中数学教学相映的题材背景，经命题专家精 细加工，再渗透现代数学思想和方法．编制出精妙绝伦的当 今数学高考试题．体现出《九章算术》与现代高考的优美结 合．体现了中华古代文明与现代文明的相映．
若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．
《九章算术》
证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面 体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出 其每个面的直角(只需写出结论)； 若不是，说明理由．
《九章算术》
结束语
命题者之所以对鳖臑这一几何体如此青睐，正是因 为鳖臑几何体中有着丰富的垂直关系，是讨论线线垂直、 线面垂直、面面垂直以及三种垂直关系相互转化的非常 好的载体；正是因为鳖臑几何体蕴含着棱锥、棱台的所 有要素，可以破解立体几何千变万化的空间角；正是因 为鳖臑几何体是涵盖了立体几何中最基本、最核心的知 识点的模型，蕴含的基本关系揭示了立体几何的基本结 构与本质规律． 鳖臑，是立体几何的灵魂．
《九章算术》
阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体 的称谓，取一长方体，按下图斜割一分 为二，得两个一模一样的三棱柱，称为 堑堵.
《九章算术》
再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四 棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一 棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的 三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体， 称为鳖臑.
《九章算术》
(1)求证：四棱锥 BA1ACC1 为阳马，并判断四面体 A1CBC1 是否为鳖臑，若是写出各个面的直角(只写出结论)； (2)若 A1A＝ AB＝ 2，当阳马 BA1ACC1 体积最大时； ①求堑堵 ABCA1B1C1 的体积； ②求 C 到平面 A1BC1 的距离； ③求二面角 CA1B­ C1 的余弦值．
现实生活中处处可见
《九章算术》
《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第 一章 立体几何初步”的“第六节 垂直关系”的例题1
《九章算术》
教材紧接着在随后的例题2中就给出了以鳖臑 为载体的几何命题的证明问题
《九章算术》
《九章算术》
该题借助于鳖臑这一几何体中丰富的垂直关系，让学生来 熟悉垂直中的判定定理以及性质定理的应用。下面，让同 学们进一步归纳鳖臑有哪些性质？
《九章算术》
①堑堵 ABCA1B1C1 的体积 1 V′＝ S△ ABC· AA1＝ × 2× 2× 2＝ 2. 2 ②由题意与题图知， V 三棱锥 BA AC＝ V 三棱锥 BACC
1
1
1
1 2 ＝ V 阳马 BA ACC ＝ . 2 3
1 1
又 A1C1＝ 2， BC1＝ BC2＋ C1C2＝ 6， 设 C 到平面 A1BC1 的距离为 d. 1 2 则 S△ A BC · d＝ . 3 3
《九章算术》
[解 ] (1)证明：由堑堵 ABCA1B1C1 的性质知： 四边形 A1ACC1 为矩形． ∵ A1A⊥底面 ABC， BC⊂ 平面 ABC， ∴ BC⊥ A1A，又 BC ⊥ AC， A1A∩ AC＝ A. A1A， AC⊂ 平面 A1ACC1. ∴ BC⊥平面 A1ACC1， ∴四棱锥 BA1ACC1 为阳马， 且四面体 A1CBC1 为鳖臑，四个面的直角分别是∠ A1CB，∠ A1C1C，∠ BCC1，∠ A1C1B.
《九章算术》
C
《九章算术》
D
《九章算术》
C
《九章算术》
《九章算术》
例 2．(2015· 高考湖北卷)《九章算 术》中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马，将四个面都为直角三角形的 四面体称之为鳖臑，如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，且 PD＝CD，过棱 PC 的 中点 E，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE. （1）证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，
《九章算术》
例 1．(2015· 高考湖北卷)《九章算 术》中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马，将四个面都为直角三角形的 四面体称之为鳖臑，如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，且 PD＝CD，过棱 PC 的 中点 E，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE. (1)证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑， 若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理 由．
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《九章算术》
1 1 2 即 · 2× 6· d＝ ， 3 2 3 4 2 ∴ d＝ ＝ 3. 2× 6 3 ③法一： 设 C 在平面 A1BC1 上的射影为 D(事实上 D∈ BC1)． 在 A1B 上 的射影为 E. 连接 DE，易知 A1B⊥ ED. ∴∠ CED 即为二面角 CA1B­ C1 的平面角． 2 由②知 CD＝ d＝ 3. 3