高三一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和
【教学目标】
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系.
【重点难点】
1.教学重点理解等比数列的概念并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
2．前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1
，q ＝1，a 1－q n 1－q
＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 1．必会结论；等比数列的性质
(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则
a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .
(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2
n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b
n (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个
等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .
(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．
(5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶
S 奇
＝q .
2．必清误区；(1)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，与等差数列不同． (2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列，还要验证a 1≠0. 考点分项突破
考点一等比数列的基本运算
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63
D ．84
【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2
＋3q 4
＝21.∴1＋q 2
＋q 4
＝7.解得q 2
＝2或q 2
＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. 【答案】 B
2．已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128. (1)求通项a n ；
(2)若b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝360，求n 的值．
【解】 (1)设{a n }的公比为q ，由a 2＝2，a 5＝128，及a 5＝a 2q 3，得128＝2q 3，所以q ＝4，所以a n ＝a 2q n
－2
＝2·4n －
2＝22n －
3.
(2)因为b n ＝log 222n －
3＝2n －3，所以数列{b n }是以－1为首项，2为公差的等差数列，所以S n ＝n ×(－1)＋n
n －
2
×2＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝360，得n 1＝20，
n 2＝－18(舍)，故n ＝20为所求．
归纳解决等比数列有关问题的常见思想方法
1．方程的思想；等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解． 2．数形结合的思想；通项a n ＝a 1q n
－1
可化为a n ＝⎝⎛⎭
⎫
a 1q q n ，因此a n 是关于n 的函数，点(n ，a n )是曲线y ＝⎝⎛⎭⎫
a 1q q x
上一群孤立的点．
3．分类讨论的思想；当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝
a 1－q n
1－q
＝
a 1－a n q
1－q
.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考点，也是易错点．
考点二 等比数列的判定与证明
(1)(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列
B ．a 2，a 3，a 6成等比数列
C ．a 2，a 4，a 8成等比数列
D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
(2)(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
①证明⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；
归纳等比数列的判定方法
1．定义法若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n
a n －1＝q (q
为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 2．等比中项公式法若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·
a n ＋2
(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．
3．通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －
1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 4．前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． 考点三 等比数列性质的应用
(1)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.
(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9
S 3＝
________.
【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.
(2)法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1
－q 6
1－q
÷
a 1－q 31－q
＝12得q 3＝－12，∴S 9S 3
＝1－q 9
1－q 3＝3
4
. 法二 因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2
＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝1
2
S 3
代入得S 9S 3＝34.【答案】 (1)50 (2)34
跟踪训练1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则
a 2
3＋2a 2a 6＋a 3a 7＝(
)
A ．4
B ．6
C ．8
D ．8－4 2 【解析】 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所。