2.１空间中点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。

难点:三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 ２、三个公理:（１)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈ＬB ∈L ＝> L α ,Ａ∈α ,B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内(２)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:Ｐ∈α∩β ＝>α∩β=Ｌ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 (4）公理 ４:平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面LA ·α C ·B·A· α P· αLβ3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1．2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥b ｃ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理４作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、ｂ的相互位置来确定，与Ｏ的选择无关,为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈（0，);③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作ａ⊥b ；④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — ２.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1)直线在平面内 —— 有无数个公共点共面直线=>a ∥c2(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点（3)直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α２．2．直线、平面平行的判定及其性质２.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β=> a∥αａ∥ｂ2.2.２平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:a β a∩b = P β∥αｂβａ∥α b∥α２、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义；（2）判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.３—２.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表示：ａ∥αa βａ∥bα∩β＝ｂ作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示:α∥βα∩γ＝ａ a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行练习巩固:１、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( d )A.平行B.异面C.相交Ｄ.平行或异面2、下列结论中，正确的有（ａ）①若aα,则ａ∥αﻩﻩﻩﻩﻩ②a∥平面α,bα则ａ∥b--③平面α∥平面β，aα,bβ,则a∥bﻩ④平面α∥β,点Ｐ∈α,ａ∥β，且P∈a，则aαA.1个ﻩB.2个C.３个D．４个3、在空间四边形ABCＤ中，E、F分别是AB和ＢC上的点,若AE∶EB=CＦ∶FB=１∶3，则对角线AC和平面DEＦ的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内D．不能确定４、a，b是两条异面直线,A是不在ａ,b上的点，则下列结论成立的是( ｄ)Ａ．过A有且只有一个平面平行于ａ,b ﻩﻩ B.过A至少有一个平面平行于ａ，ｂC.过A有无数个平面平行于a,ｂﻩﻩD.过A且平行a，ｂ的平面可能不存在5、已知直线a与直线ｂ垂直，a平行于平面α,则b与α的位置关系是（）A.b∥αB.bαC.b与α相交D.以上都有可能6、下列命题中正确的命题的个数为( a ）①直线ｌ平行于平面α内的无数条直线,则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b，直线bα，则a∥α;④若直线ａ∥b,ｂ平面α,那么直线ａ就平行于平面α内的无数条直线．A.1B.2C.3D.47、下列命题正确的个数是( ａ)(1)若直线l上有无数个点不在α内,则l∥α(２)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行（3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥αＡ.0个B．1个Ｃ．2个 D.3个8、已知m、ｎ是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d①若m⊥α,m⊥β，则α∥β;ﻩﻩﻩ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；③若ｍα,nβ,m∥ｎ,则α∥β;ﻩ④若m、ｎ是异面直线,mα，m∥β,nβ，n∥α，则α∥β.A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④9、长方体ABＣD-A１Ｂ1C1D1中,E为AA1中点，F为ＢB１中点,与EF平行的长方体的面有(c）A.1个B.2个 C．3个 D.4个1０、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等;④存在异面直线l，M,使得l∥α,ｌ∥β,Ｍ∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（b)A.1个B.2个C．３个 D.4个二、填空题【共4道小题】1、在棱长为ａ的正方体ABCD—A1B１C1D1中，Ｍ、Ｎ分别是棱Ａ１B1、B1C1的中点，Ｐ是棱AＤ上一点,AP=,过P、M、N的平面与棱CＤ交于Q,则PQ=________＿.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ（∵MＮ∥平面AC，PＱ=平面PMN∩平面AＣ,∴MN∥PQ).易知DP=DＱ=.故. 答案：2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点在空间的位置是＿＿______＿_．参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内３、若直线a和ｂ都与平面α平行,则a和b的位置关系是＿_＿___＿__＿.参考答案与解析:相交或平行或异面4、正方体AＢCＤ-A１B1C１D1中，E为DD1中点,则BD1与过点A,C，E的平面的位置关系是＿_＿__＿__＿.参考答案与解析:解析：如图所示，连结ＢD，设BD∩AC＝O,连结BD １，在△BDＤ1中,E为ＤＤ1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BＤD１的中位线.∴OE∥ＢＤ1．又平面AＣE,ＯE平面ACE,∴ＢD1∥平面ACＥ.答案:平行三、解答题【共3道小题】1、如图,直线ＡＣ,DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF;②求证:.参考答案与解析：解析:①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点,但不一定总有ＡD∥BE.同理不总有BＥ∥ＣＦ.②过A点作DＦ的平行线，交β，γ于G,H两点,ＡH∥DF.过两条平行线AH,DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF．根据两平面平行的性质定理，有AD∥ＧＥ∥HF．A ＧＥD 为平行四边形.∴AG=DE.同理G Ｈ＝E Ｆ.又过AC ，AH 两相交直线之平面与平面β，γ的交线为B Ｇ，ＣＨ.根据两平面平行的性质定理，有BG∥ＣH. 在△ACH 中，.而AG=D Ｅ，GH=EF ，∴.2、如图，ABCD 是平行四边形，Ｓ是平面ABCD 外一点，Ｍ为SC 的中点.求证:SA∥平面MD Ｂ．参考答案与解析:解析:要说明S Ａ∥平面MDB,就要在平面MDB 内找一条直线与SA 平行，注意到Ｍ是ＳC 的中点,于是可找AC 的中点,构造与ＳA 平行的中位线,再说明此中位线在平面MDB 内，即可得证.证明:连结A Ｃ交BD 于N,因为ＡBCD 是平行四边形,所以Ｎ是AC 的中点.又因为M 是SC 的中点,所以ＭN∥SA.因为M Ｎ平面ＭDB,所以SA∥平面MDB ．３、如图，已知点Ｍ、N 是正方体AB ＣD －A １B 1C １D 1的两棱Ａ1Ａ与A 1B 1的中点,P 是正方形ABＣD 的中心,求证：M Ｎ∥平面PB 1C ．参考答案与解析:证明:如图,连结AC ，则P 为AC 的中点,连结A Ｂ1， ∵M 、Ｎ分别是A 1A 与A 1B １的中点,∴ＭN ∥ＡB 1. 又∵平面PB 1C,平面PB １C,故M Ｎ∥面ＰB １Ｃ.4、如图,在正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别是棱BC ,11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D .答案：证明:如图，取11D B 的中点O ,连接OF ，OB ，OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于1112B C ，OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形,1A1B1D1CFCDAEBHFDG CEF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，∴EF //平面11BB D D ．5、如图，在四棱锥P ABCD -中,ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ,PC 的中点. 求证：MN //平面PAD ．答案:证明:如图，取CD 的中点E ,连接NE ,ME ∵M ,N 分别是AB ，PC 的中点, NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ,ME //平面PAD . 又NEME E =,∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ,∴MN //平面PAD .２．3.1直线与平面垂直的判定１、定义如果直线Ｌ与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L⊥α,直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。