第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F为()'3''041r r r r Q Q F --=πε （1.1.1） 式中0ε是真空介电常数。
（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E 为()'3''041r r r r Q E--=πε （1.1.2）（3）电场的叠加原理N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为()'13'0'4iNi i i r r r r Q E --=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''41r r r r dV r E V--=⎰ρπε （1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r 为场点的坐标。
2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E 穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。
用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形） （1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形） （1.1.6）其中V 为S 所包住的体积，S d为S 上的面元，其方向是外法线方向。
应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E （1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。
对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅V S dV dtd S d J ρ （1.2.1） 或0=∂∂+⋅∇tJ ρ （1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。
2、毕奥－萨伐尔定律'r 处的电流元l Id 在r 处产生的磁感强度为()3''04rr r r l Id B d --⨯=πμ （1.2.3） 参见图1-1-2。
由此得沿闭合曲线L 流动的电流I 所产生的磁感强度为()()⎰--⨯=L rr r r l Id r B 3''04 πμ(1.2.4)如果电流是体分布，则电流元为()''dV r J ，这时()()()'3'''04dV rr r r r J r B d --⨯=πμ （1.2.5） ()()()'3'''04dV rr r r r J r B V ⎰--⨯= πμ （1.2.6） 3、磁场的环量和旋度（1）安培环路定理磁感强度B沿闭合曲线L 的环量等于通过L 所围的曲面S 的电流代数和的0μ倍；即⎰⎰⋅=⋅SLS d J l d B0μ (1.2.7)（2）磁场的旋度由安培环路定理和斯托克斯公式 ⎰⎰⋅⨯∇=⋅LSS d B l d B可得磁场的旋度为J B0μ=⨯∇ （1.2.8） 这是安培环路定理的微分形式。
4、磁场的散度磁场的散度为 0=⋅∇B（1.2.9）§1.3 麦克斯韦方程组1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路L 中产生的感应电动势为⎰⋅-=Φ-=S S d B dt d dt dε （1.3.1）依定义，感应电动势ε是电场强度感E沿导体回路L 的线积分，因此（1.3.1）式可写做⎰⎰⋅-=⋅S L i S d B dtd l d E（1.3.2） 其中i E是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。
麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电场感E，并且满足（1.3.2）式。
应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式tB E i ∂∂-=⨯∇（1.3.3）在一般情况下，既有静电场S E ，又有感应电场i E，则总电场便为i S E E E+= （1.3.4）又因为0=⨯∇S E，故得tBE ∂∂-=⨯∇ （1.3.5）这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。
2、麦克斯韦对安培环路定理的推广稳恒电流的安培环路定理为J B0μ=⨯∇，由此得出()010=⨯∇⋅∇=⋅∇B Jμ （1.3.6）这与电荷守恒定律0≠∂∂-=⋅∇tJ ρ（1.3.7）相矛盾。
麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为()D J J B+=⨯∇0μ （1.3.8） 其中tDJ D ∂∂=（1.3.9）叫做位移电流密度。
即⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⨯∇t D J B0μ （1.3.10）或S d t D J l d B S L⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰0μ （1.3.11） 3、麦克斯韦方程组我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。
它与电荷守恒定律不矛盾。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇00000B E t E J B t B Eερεμμ （1.3.12）这组方程称为麦克斯韦方程组。
4、洛伦兹力公式带电荷q 的粒子以速度v在电磁场中运动时，它所受的力为()B v E q F ⨯+=作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为()B J E B v E f⨯+=⨯+=ρρ§1.4 介质的电磁性质1、介质的极化（1）极化强度P在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列，这叫做介质的极化。
极化强度P是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即VpP ii∆≡∑（1.4.1）式中V ∆为包含有大量分子的物理小体积，i p为第i 个分子的电偶极矩。
如果每个分子的平均电偶极矩为p，则p n P=（1.4.2） 式中n 为分子数密度。
（2）极化电荷与极化强度的关系极化电荷体密度P ρ与极化强度P的关系为dV S d P VP S⎰⎰-=⋅ρ（1.4.3）或P P⋅-∇=ρ（1.4.4） 极化电荷面密度P σ与P的关系为()21P P n P-⋅=σ （1.4.5）式中n为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。
如果介质2为真空，则P n P⋅=σ（1.4.6）均匀介质内的极化电荷()f P E D P ρεεερ⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅-∇=⋅-∇=001（1.4.7） 即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度f ρ的⎪⎭⎫⎝⎛--εε01倍。
因此，若该点处无自由电荷分布，则0=P ρ。
（3）有介质时的电场在一般情况下，介质中的电场E 是自由电荷的电场f E ，极化电荷的电场PE以及变化磁场产生的感应电场i E的和，即i P f E E E E++= (1.4.8)在介质中，电场的旋度和散度分别为tB E E i ∂∂-=⨯∇=⨯∇（1.4.9）和P E f P f ⋅∇-=+=⋅∇00001111ερερερε（1.4.10） （4）电位移D 及其与电场强度E的关系电位移矢量D的定义为P E D+≡0ε（1.4.11） 在各向同性的线性介质中，P 与E成线性关系E P e0εχ= （1.4.12）e χ叫做介质的电极化率。
代入（1.4.11）式得()E D eχε+=10 （1.4.13）定义相对介电常数r ε和介电常数ε分别为e r χε+≡1， 0εεεr ≡ （1.4.14）这时E Dε= （1.4.15）2、介质的磁化（1）磁化强度M在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫做介质的磁化。
磁化强度M是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的磁矩，即Vm M ii∆≡∑ （1.4.16）式中V ∆为含有大量分子的物理小体积，i m为第i 个分子的磁矩。
如果每个分子的平均磁矩为m，则m n M= （1.4.17）式中n 为分子数密度。
（2）磁化电流与磁化强度的关系磁化电流体密度M J与磁化强度M 的关系为S d J l d M LSM⋅=⋅⎰⎰ （1.4.18）上式可写作⎰=⋅LM I l d M（1.4.19）式中M I 是积分环路L 所套住的磁化电流的代数和，如图1-1-3。
把斯托克斯公式用于（1.4.18）式，便得MJ M ⨯∇=（1.4.20）磁化电流面密度M α与磁化强度M的关系：面电流是指在曲面上流动的电流，面电流密度α 的大小等于通过与α垂直的单位长度横截线的电流。
设介质1的磁化强度为1M ，介质2的磁化强度为2M，在两介质的交界面上，磁化面电流密度为M α，交界面的单位法向矢量为n ，从介质1指向介质2，则()12M M n M-⨯=α（1.4.21） 若介质2为真空，则()12M M n M-⨯=α（1.4.21） （3）有介质时的磁场自由电流f J 、磁化电流M J 和位移电流D J都产生磁场，这些磁场的叠加就是介质中的磁场B。
因此，在一般情况下，磁场的旋度和散度分别为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇+=++=⨯∇t D M J J J J B f D M f00μμ（1.4.23） 和0=⋅∇B（1.4.24）（4）磁场强度H 及其与磁感强度B的关系磁场H定义为M BH -≡0μ（1.4.25） 对于各向同性的非铁磁物质，磁化强度M 和H之间有简单的线性关系H M Mχ= （1.4.26）M χ 叫做介质的磁化率。
把（1.4.26）式代入（1.4.25）式可得()H H B Mχμ0=（1.4.27） 定义相对磁导率r μ和磁导率μ分别为M r χμ+≡1， 0μμμr ≡ （1.4.28）这时H Bμ=（1.4.29） 对于所有物质来说，相对介电常数r ε都大于1，但相对磁导率r μ则可以大于1（顺磁质），也可以小于1（抗磁质）。
3、介质中的麦克斯韦方程组电磁场遵守的普遍规律为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇0B D t D J H t B Eρ（1.4.29） 物质方程：在各向同性的线性介质中E D ε=， H Bμ= （1.4.29）§1.5 电磁场边值关系由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为()()()())4.5.1(0)3.5.1()2.5.1()1.5.1(012121212=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯B B n D D n H H n E E nσα式中n是交接面法线上的单位矢量，从介质1指向介质2；σ和α 分别是交界面上的自由电荷和自由面电流密度。