线性子空间的研究数学与应用数学专业学生：罗柏平指导老师：周绍杰摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果.关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra，and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition，and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given.Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions0引言线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间.线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.1子空间的基本内容1.1基本概念定义1(子空间) 数域P 上线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间或简称子空间，如果W 对于V 的两种运算加法和数乘也构成线性空间.定义2(生成子空间) 设12,,,r V ααα∈…，则子空间1122{+,1,2,,}r r i W k k k k P i r ααα=++∈=……即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由12,,,r ααα…生成的子空间，记作12(,,,)r L ααα…. 12,,,r ααα…称为它的一组生成元.定义3(和与交、直和)i 设1V 、2V 是线性空间V 的两个子空间，满足121122{}V V αααα+∈∈，的称为1V 与2V 的和，记作1V +2V ;满足{}12V V ααα∈∈且的称为1V 与2V 的交，记作12V V I .ii 若12,V V 是线性空间V 的两个子空间，如果12V V +中每一个向量α的分解式121122(,)V V ααααα=+∈∈是唯一的，则12V V +就称为直和.记为12V V ⊕.iii 线性子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设12,,,s V V V L 是线性空间V 的子间，如果和12s V V V +++L 中每个向量α的分解式12s αααα=+++L ,,1,2,,i i V i s α∈=L 是唯一的，则该和称为直和，记为.21V V V ⊕⊕⊕Λ1.2基本结论命题1 (子空间的判别) 线性空间V 的一个非空子集W 是V 的子空间的充分必要条件是，W 对于V 中规定的加法和数乘运算封闭.命题2(维数公式)如果12,V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么dim （1V ）+dim （2V ）=dim （12V V +）+dim （12V V I ）.命题3(直和的等价条件) 若12,,,s V V V L 是线性空间V 的子空间，则以下条件等价. （1）12s W V V V =⊕⊕⊕L 是直和； （2）零向量的表示法唯一； （3）{}0(1,2,,)i j j iV V i s ≠==∑IL ；（4）dim （W ）= 1dim()s i i V =∑.命题4 设V 是P 上的有限维线性空间，1,,s V ∂∂∈….则向量组的极大线性无关组就是生成子空间1(,,)n L ∂∂…的基，且秩(1,,s ∂∂…)=dim(L).向量组1,,s ∂∂…与1,,t ββ…等价的充要条件是1(,,)s L ∂∂…=1(,,)t L ββ….2子空间的几个性质性质1 设12,,,n ααα…是n 维线性空间V 的一组基，A 是一个n ×s 矩阵，且1212(,,,)(,,,)s n A βββααα=……，则12(,,,)s L βββ…的维数等于A 的秩.证明：要证明12(,,,)s L βββ…的维数等于A 的秩,只需证12,,,s βββ…的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns nr n s ra a aa a a A ...........................11111，且≤=r r A rank ,)(min(,)n s .不失一般性，可设A 的前r 列是极大线性无关组，由条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nns s s s n nr r r r nn a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111，可证12,,,r βββ…构成12,,,r βββ…，1,,r s ββ+…的一个极大线性方程组. 事实上，设0...2211=+++r r k k k βββ，于是得0)...(...)...()...(1112221111111=+++++++++n r r n r r r r a k a k a k a k a k a k ααα，因为12,,,n ααα…线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0.............................................0 (221)11212111r nr n n r r k a k a k a k a k a k a ， 该方程组的系数矩阵秩为,r 故方程组只有零解即0...21====r k k k ， 于是12,,,r βββ…线性无关.其次可证：任意添一个向量j β后，向量组12,,,r βββ…，j β一定线性相关.事实上，设0...2211=++++j j r r k k k k ββββ，于是⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++0 0 (221)111212111j nj r nr n n j j r r k a k a k a k a k a k a k a k a ， 其系数矩阵的秩为r<r+1，所以方程组有非零解,,,...,,21k k k k r 即r βββ,...,,21，j β线性相关.因此，12,,,r βββ…是s βββ,...,,21的极大线性无关组.故),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩，即等于)(A rank .性质2 设s V V V ,...,,21是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，那么V 中至少有一向量α不属于s V V V ,...,,21中的任何一个.证明：采用数学归纳法.当n=2时，由上题已证命题成立.现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V 中至少存在一个向量不属于121,...,,-s V V V 中任意一个，如果s V ∈α，则命题已证.若s V ∈α，对,P ∈∀向量s V k ∈+βα，且对P 中s 不同的数,,...,,21s k k k 对应的s 个向量)....2.1(s i k =+βα中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间).1....2.1(-=s i V i 换句话说，上述S 个向量)....2.1(s i k =+βα中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间(1,2,1)i V i s =-…，，记为00i k γαβ=+，易见0γ也不属于s V .即证命题对s 个非平凡的子空间也成立.即证.性质3 设12V V 和都是线性空间V 的子空间，则1dim V =2dim V 的充要条件是12V V =. 性质4 12S S 和都是向量空间V 的子空间.如果12S S U 也是V 的子空间，那么12S S ⊇或21S S ⊇.证 若21S S ⊄，则存在12S β∈，但11S β∉.任取1S α∈，则1212S S S S αβ∈∈U U ，.由12S S U 为子空间知112+S S αβ∈U .若1+S αβ∈，则由11S α∈必有1S β∈，矛盾.故必有2+S αβ∈，由2S β∈必有2S α∈，从而21S S ⊇.性质5 假设V 为数域F 上的向量空间，12,,n V V V …,是V 的n 个子空间，则同时含有12,,n V V V …,的所有子空间之交等于12+++n V V V ….证 含W 为同时含有12,,n V V V …,的所有子空间之交，则W 是V 的一个子空间，并且,1,2,i V W i n ∈=…,.任取12+++n a V V V ∈…，则12+++n a a a a =…，i i a V ∈，1,2,,i n =….于是a W ∈即12+++n V V V W ⊆….另一方面，12+++,i n V V V V ⊆… 1,2,,i n =….12+++n V V V …是V 的子空间，故12+++n W V V V ⊆….因此，12+++n W V V V =….性质6 若.U V W W U V ⊆+，，是某个向量空间的子空间，且则 (a ) W U W V W =+I I 并不是不是永远成立.例如令((1,0,0)),((1,0,1)),((0,0,1))W U L V L ===,则U ，V ，W 都是实数域R 上向量空间4R 的子空间.易知W U V ⊆+，且{0}U V V U ==I I .这时W U W V W ≠+I I ;(b )若,U W ⊆则(a )中的等式恒成立.事实上，.U W U =I W α∈又任取，U V α∈+则，于是有12,U V αα∈∈，使12ααα=+，即21W ααα=-∈，从而2V W α∈I .因此U V W α∈+I .即W U V W ⊆+I .又因,U W V W W ⊆⊆I ，而W 是子空间，故U V W W +⊆I .于是证得W U V W U W V W =+=+I I I .性质7设1R ,2R ,3R 是向量空间V 的子空间，那么（1）1231323(+++R R R R R R R ⊆I I ）（）（）； （2）1323133(+(+R R R R R R R ⊆I I I ））（）. 证：（1）任取123(+R R R α∈I ），则112R R α∈I ，23R α∈，使12=+ααα。