高中数学课时分层作业5综合法及其应用（含解析）新人教B 版
选修12
课时分层作业(五)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a ≤－2成立的一个充分不必要条件是(
) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0
C ．a >0，b <0
D ．a >0，b >0
[解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.
∵a 2＋b 2>0，
∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.
[答案] C
2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )
A ．菱形
B ．梯形
C ．矩形
D ．平行四边形
[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，
∴OA →－OB →＝OD →－OC →，
∴BA →＝CD →，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
[答案] D
3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )
A.12 B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
[解析] ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，
∴2ab <12.
而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，
又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，
∴a <12
，∴a 2＋b 2最大，故选B. [答案] B
4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 若A >B ，则a >b ，
又a sin A ＝b
sin B ，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，
∴A >B .
[答案] C
5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α
B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β
C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
[解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．
[答案] C
二、填空题
6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则
k ＝________.
[解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2，k ＝6. [答案] 6 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2
＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，
又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2
>1，∴c >b ，∴a >c >b . [答案] a >c >b
8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
[解析] 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔
bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab
>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．
[答案] 3
三、解答题
9．如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .
[证明] ∵四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，
∴AB CD .
又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，
∴CF AE .
∴四边形AECF 为平行四边形．
∴AF ∥EC .
又AF 平面PEC ，EC ⊂平面PEC ，
∴AF ∥平面PEC .
10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．
[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3
，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝
a ＋c 2， 代入上式得(a ＋c )24
＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2
＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，
而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3
， 从而△ABC 为等边三角形．
[能力提升练]
1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y
的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12
[解析] ∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，
∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C. [答案] C
2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
[解析] 因为tan A ·tan B >1，
所以角A ，角B 只能都是锐角，
所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0，
所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B
<0. 所以A ＋B 是钝角，即角C 为锐角．
[答案] A
3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________．
[解析] 由0<a <1,0<b <1，
且a ≠b ，得a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab .
又a >a 2，b >b 2，
知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．
[答案] a ＋b
4．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x
轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．
[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，
∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，
∴直线MF 的斜率为－k ，
∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.
解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2
. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2
k 2 ＝－12y 0
(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。