• 考虑三维情况：则扩 ∂ρ ∂2 ρ ∂2 ρ ∂2 ρ 散第二定律的普遍式 = D( 2 + 2 + 2 ) ∂t ∂x ∂y ∂z 为：
上述扩散均是由于浓度梯度引起的，通常称为 上述扩散均是由于浓度梯度引起的， 化学扩散。 化学扩散。 假设扩散是由于热振动而产生的称为自扩散， 假设扩散是由于热振动而产生的称为自扩散， 自扩散系数的表达式为： 自扩散系数的表达式为：
重点与难点
概述
扩散(diffusion) 扩散 (diffusion) (diffusion)——原子或分子的迁移现象 原子或分子的迁移现象 称为扩散。 称为扩散。 物质的迁移可以通过对流和扩散两种方式进行， 物质的迁移可以通过对流和扩散两种方式进行， 气体和液体中物质的迁移一般是通过对流和 扩散来实现的。 扩散来实现的。 扩散的本质是原子依靠热运动从一个位置迁移 到另一个位置。 到另一个位置。 扩散是固体中原子迁移的唯一方式。 扩散是固体中原子迁移的唯一方式。
分析：碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时， 分析：碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时，圆 筒内各处碳浓度不再随时间而变化， 筒内各处碳浓度不再随时间而变化，为稳态扩散 单位面积中碳流量，即扩散通量： 解：单位面积中碳流量，即扩散通量： J=q/（At）=q/（ πrlt） J=q/（At）=q/（2πrlt） 圆筒总面积， 园筒半径及长度， A ： 圆筒总面积 ， r 及 l ： 园筒半径及长度 ， q ： 通过 圆筒的碳量 根据Fick第一定律又有： Fick第一定律又有 根据Fick第一定律又有： J=q/（At）=q/（ πrlt） J=q/（At）=q/（2πrlt） /dr） =-D（ dρ/dr） 解得： πlt） /dlnr） 解得： q =-D （2πlt） （ dρ/dlnr） 式中， 可在实验中测得， 式中 ， q 、 l 、 t 可在实验中测得 ， 只要测出碳 含量沿筒径方向分布（ 通过剥层法测出不同r 含量沿筒径方向分布 （ 通过剥层法测出不同 r 处的 碳含量） , 则扩散系数D 可由碳的质量浓度ρ 对 lnr 碳含量 ） 则扩散系数 D 可由碳的质量浓度 ρ 作图求得。作图结果见P132－ 作图求得。作图结果见P132－4.1.
• 研究扩散一般有两种方法： 1、表象理论：根据所测量的参数描述物 质传输的速率和数量； 2、原子理论：即扩散过程中物质是如何 传输的。
4.1 表象理论 Fick第一定律 4.1.1 Fick第一定律
内容：在单位时间内通过垂直扩散方向的单位截面积上的扩 内容：在单位时间内通过垂直扩散方向的单位截面积上的扩 散物质通量(diffusion fluxes)与该截面处的浓度梯度成 散物质通量(diffusion fluxes)与该截面处的浓度梯度成 正比. 正比. 表达式: 表达式: J = －Ddρ/dx 式中： 式中： 为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x J为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x的单位 面积的扩散物质质量，单位kg/m kg/m2 面积的扩散物质质量，单位kg/m2*s coefficient） 为扩散系数: D （ diffusion coefficient ） 为扩散系数 : 描述扩散速度的 物理量。它等于浓度梯度(concentiontration 物理量 。 它等于浓度梯度(concentiontration gradient) 时在1 秒内通过1 面积的物质质量， 单位kg/m kg/m3 为 1 时在 1 秒内通过 1㎡ 面积的物质质量 ， 单位 kg/m3 。 D 越 则扩散越快. 大,则扩散越快.式中负号表示物质的扩散方向与质量的浓 度梯度dρ/dx方向相反； dρ/dx方向相反 度梯度dρ/dx方向相反； Flick第一定律 Fick’ 第一定律（ law） Flick 第一定律 （ Fick’ s first law ） 描述在稳态条件下的 扩散（ diffusion) 扩散 （ steady state diffusion) , 即各处浓度不随时间 变化,只随距离变化而变化. 变化,只随距离变化而变化.
Fick第二定律推导 Fick第二定律推导
∂ρ Adx ∂t
即
∂ρ ∂J =− ∂t ∂x
∂J ＝－ Adx ∂x
将Fick 第一定律带入可得： ∂ρ ∂ ∂ρ = (D ) ∂t ∂x ∂x
• 上述方程即为扩散第 二定律或Fick第二定 律，如果假定D与浓度 无关，D 2 ∂t ∂x
第四章 固体中原子及分子的运 动
内容提纲
• 4.1表象理论 • 4.2扩散的热力学分析 • 4.3扩散的原子理论 • 4.4扩散激活能 • 4.5无规则行走与扩散距离 • 4.6影响扩散的因素 • 4.7反应扩散 • 4.8离子晶体中的扩散
本章要求的主要内容
1. 概念：扩散定律、扩散系数、纯扩 概念：扩散定律、扩散系数、 化学扩散、上坡扩散、下坡扩散、 散、化学扩散、上坡扩散、下坡扩散、原 子扩散、反应（相变）扩散、自扩散、互 子扩散、反应（相变）扩散、自扩散、 扩散、扩散激活能，稳态扩散， （异）扩散、扩散激活能，稳态扩散，非 稳态扩散，扩散通量、 稳态扩散，扩散通量、柯肯达尔效应 • 2.固态金属中原子扩散的条件 固态金属中原子扩散的条件 • 3.扩散定律的内容、适应条件、解及应 扩散定律的内容、 扩散定律的内容 适应条件、 用 • 4.扩散系数及其影响因素，扩散驱动力 扩散系数及其影响因素， 扩散系数及其影响因素 • 5.固相中原子扩散的各种机制 固相中原子扩散的各种机制 • 6.扩散的分类 扩散的分类 •
0
2
利用上式和初始条件，当t＝0时，x＜0，β＝－∞； π x＞0，β＝＋∞。 C1 = A1 + A2
2 C2 = −
π
2
A1 + A2
解出积分常数 然后代入通解得到：
C1 + C 2 2 π C1 + C 2 C1 − C 2 x C= + erf 2 2 2 Dt A1 = , A2 =
C1 − C 2

2.一端成分不受扩散影响的扩散体 2.一端成分不受扩散影响的扩散体 表面热处理过程即为 即为一端成分不受扩散 表面热处理过程即为一端成分不受扩散 影响的扩散体例如：工业生产中经常采用渗 影响的扩散体例如：工业生产中经常采用渗 Carburizing） 碳（Carburizing）的方法来提高钢铁零件的 表面硬度， 表面硬度，所谓渗碳就是使碳原子由零件表 面向内部扩散，以提高钢的含碳量， 面向内部扩散，以提高钢的含碳量，含碳量 越高，钢的硬度越高。 越高，钢的硬度越高。
扩散是固体材料中的一个重要现象, 扩散是固体材料中的一个重要现象,它 和材料科学工程中的很多过程密切相关： 和材料科学工程中的很多过程密切相关： 1.铸件的凝固及均匀化退火 1.铸件的凝固及均匀化退火 2.冷变形金属的回复和再结晶 2.冷变形金属的回复和再结晶 3.陶瓷和粉末冶金的烧结 3.陶瓷和粉末冶金的烧结 4.材料的固态相变 4.材料的固态相变 5.高温蠕变 5.高温蠕变 6.材料的各种表面处理 6.材料的各种表面处理
erf ( β ) =
2
π
∫
β
0
exp(− β 2 )dβ
误差函数具有如下性质：
erf ( +∞ ) = 1
erf ( − β ) = −erf ( β )
因此它是一个原点对称的函数，不同β的误差函数 erf ( β ) 值参考表4.1。由误差函数定义和误差函数的性质，当 β→±∞时，有 ， ±∞ π 2 ∫ exp(− β )dβ = ±
1.两端成分不受扩散影响的扩散偶 1.两端成分不受扩散影响的扩散偶
焊接过程， 焊接过程，即为两端成分不受扩散影响的扩散 过程：将质量浓度为C2 C2的 棒和质量浓度为C1 偶，过程：将质量浓度为C2的A棒和质量浓度为C1 棒焊接在一起，焊接面垂直于x 的B棒焊接在一起，焊接面垂直于x轴，然后加热保 温不同的时间，焊接面（ 温不同的时间，焊接面（x＝0）处的质量浓度将发 生不同程度的变化，如下图所示： 生不同程度的变化，如下图所示：
−J Ds = lim ∂ρ ( →0) ∂ρ ∂x ∂x
即合金中某一组元的自扩散系数是它的质量浓度 趋于零时的扩散系数。 趋于零时的扩散系数。
4.1.3 扩散方程的解—应用 扩散方程的解—
对于非稳态扩散 ， 需要对 Fick 第二定 按所研究问题的初始条件， 律——按所研究问题的初始条件，边界条件 按所研究问题的初始条件 解微分方程，不同的初始条件， 解微分方程，不同的初始条件，将导致方程 不同的解，分别举例如下： 不同的解，分别举例如下：
• 1.菲克第一定律的含义和各参数的量纲。 • 2.根据一些较简单的扩散问题中的初始条件 和边界条件，能运用菲克第二定律求解。 • 3.柯肯达尔效应的起因，以及标记面漂移方 向与扩散偶中两组元扩散系数大小的关系。 • 4.扩散系数的求解方法 • 5.扩散的几种机制，着重的是间隙机制和空 位机制。 • 6.计算和求解扩散系数及扩散激活能的方法。 • 7.影响扩散的主要因素
• 分析问题： 两根无限长A 合金棒，各截面浓度均匀， 1）两根无限长A、B合金棒，各截面浓度均匀， 浓度C 浓度C2>C1 两合金棒对焊，扩散方向为x 2）两合金棒对焊，扩散方向为x方向 合金棒无限长， 3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响 根据上述条件可写出初始条件及边界条件 初始条件：t=0 x>0 x<0 初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2 边界条件：t≥0 x=－ 边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2
C 为得到满足上述条件的扩散第二方程的解 ( x, t ) 采用变量代换法，令
β = x / 2 Dt
并将其代入Fick第二定律方程，这样做的目的 是将浓度由二元函数转化为β的单变量函数，从而 将方程转化为常微分方程，然后解之，即