2016年中国科学技术大学自主招生
数学试题解析
一、填空题（每小题6分，共48分） 1．20163除以100的余数为 .
2．复数12,z z 满足12||2,||3z z ==，12||4z z +=，则
12
z z 的值是 .
3．用()S A 表示集合A 的所有元素之和，且{12345678}A ⊆，
，，，，，，， ()S A 能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 .
4．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是 .
5．若对任意实数x
都有
2
|2||32|x a x a a -+-≥，则
a
的取值范围
是 .
6．若(,)42ππ
α∈，(0,1)b ∈，log sin log cos (sin ),(cos )b
b
x y αααα==，则x y (填,,>=<)
7． 梯形ABCD 中，//AB CD ,对角线,AC BD 交于1P ,过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ，1AQ 交BD 于2P ,过2P 作AB 的平行线交BC 于点2Q ，…，若
,AB a CD b ==，则n n P Q = .
（用,,a b n 表示）
8． 数列{}
n a 中，n a 是与
最接近的整数，则2016
1
1
n n
a
==∑ .
二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分） 9．已知,,0a b c >，3a b c ++=2223
2
≥
10．求所有函数:f N N **→，使得对任意正整数x y ≠，0|()()|2||f x f y x y <-<-.
11．求方程2571
x y z
x y z.
-⋅=的所有非负整数解(,,)。