一、选择题(选对得10分,不选得0分,选错扣5分)1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ,则(
)()()2
2
2
111z y x
+++可能取到的值为(
)
A.16900B.17900C.18900D.前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数,已知这50个数中任两个的和都不等于99,也不等于100.这50个数的和可能等于()A.3524B.3624C.3724D.前三个答案都不对3、已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,
0 x ,对任意实数a ,函数1cos 2cos 2
+-=x a x y 的最小值记为()a g ,则当a 取遍所有实数时,()a g 的最大值为()
A.1B.2
C.3D.前三个答案都不对
4、已知2020
210-是n 2的整数倍,则正整数n 的最大值为(
)
A.21B.22
C.23
D.前三个答案都不对
5、在凸四边形ABCD 中,4=BC ,
60=∠ADC ,
90=∠BAD ,四边形ABCD 的面积等于
2
AD
BC CD AB ⋅+⋅,则CD 的长(精确到小数点后1位)为(
)
A.6.9B.7.1C.7.3D.前三个答案都不对
二、填空题(填空题共5小题;请把每小题的正确答案填在横线上,每题10分)
6、满足等式2015
1
20151111⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______.
7、已知[]4,2,,,∈d c b a ,则
()()()
2
2
2
2
2
c
b
d
a
cd ab +++的最大值与最小值的和为_______.
8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ,22
≤++q px x ,不超过
22q p +的最大整数是_______.
9、设bc a c b x 2222-+=,ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ,则
201520152015z y x ++的值为_______.
10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集,已知i A 为奇数,n i ≤≤1,j i A A 为偶数,n j i ≤≠≤1,则n 的最大值为_______.
2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分
参考答案
一、选择题1、A
解析:(
)()()()()()()2
2
2
2
111x z z y y x z y x
+++=+++.令
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验,这组解满足题意,此时(
)()()169001112
2
2
=+++z y x .
2、D
解析:考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组:
(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).
若选出的50个不同的正整数中没有50,则必有2个数位于
(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)
中的同一组,不合题意.所以这50个不同的正整数中必有50,而
(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)
中,每组有且只有一个数被选中.
因为50+49=99,所以(49,51)中选51;因为51+48=99,所以(48,52)中选52;以此类推,可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法.
经检验,选50,51,52,⋯,98,99满足题意,此时50+51+⋯+98+99=3725,故选D.3、A
解析:令[]1,0cos ∈=x t ,令()122
+-=at t t h ,[]1,0∈t 则
()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,101
2a a a a a a g ,
故()a g 的最大值为1(0≤a 时等号成立).4、D
解析:1()()()()()
155551515152152210
2345102020202020
++++-++=-=-,而
1510+模4余2,155+模4余2,15555234++++为奇数,故正整数n 的最大值为24.
5、A
解析:设四边形ABCD 的面积为S ,直线AC ,BD 的夹角为θ,则
2sin 22sin AD
BC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=
θθ,
由题意,2
AD
BC CD AB S ⋅+⋅=
,所以D C B A ,,,四点共圆,且BD AC ⊥.
故9.634≈=CD ,选A.
二、填空题6、11解析:若x 为正整数,则
2015
1
20151111⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+>>⎪⎭
⎫
⎝⎛++e x x ,
若x 为负整数,令(
)
2,≥∈-=*
n N n n x ,则
1
1
11111-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+n x n x .
因为数列()
2,1111
≥∈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-+*
-n N
n n n 关于n 单调递增,故当且仅当2016-=x 时,有2015
1
20151111⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x .
7、
25
41解析:注意到(
)()
()()2
2
22
2
2bd ac cd ab c b
d
a -++=++,
于是()()()()()()2
2
22
2222
2
11⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+=
++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,
显然当0=-bd ac 时,原式取得最大值为1.接下来考虑
cd
ab bd
ac +-的最大值.
由于1+⋅-
=
+-c
b d a
c b
d a cd ab bd ac ,令
αtan =d a ,βtan =c b ,则问题等价于当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时,求βα-tan 的最大值,显然为4
321arctan
2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-.因此原式的最小值为
25
16.注:可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方.8、9
解析:注意到q px x y ++=2
,[]5,1∈x 满足22≤≤-y ,因此符合题意的二次函
数只有两个:
762+-=x x y ,7
62-+-=x x y
9、1
解析:由1=++z y x ,可得
()()()
()()()()()()()
222
22
223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=,故1201520152015
=++z y x .
10、9
解析:构造是容易的,取{}i A i =,9,,2,1 =i 即可.
用0,1表示集合中的元素是否在子集中,如{}9,5,4,3,11=A ,则记
()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,
那么
j i j i A A A A =⋅.
显然,如果当10≥n 时,必然存在m 个向量线性相关,不妨设
()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,
其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ,11=λ.此时考虑
()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,
那么根据题意有11A A ⋅为奇数,而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数,这样就推出了矛盾.因此所求n 的最大值为9.
注:用这个方法,可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集,使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素.。